Congruência Por Corte e Terceiro Problema de Hilbert
DOI:
https://doi.org/10.5902/2179460X14375Palavras-chave:
Área e Volume, Poliedros e Polítopos, Terceiro Problema de HilbertResumo
Dados dois polígonos com áreas iguais, é possível decompor um deles em um número finito de polígonos e reconstruir o outro. Esse fato é conhecido como teorema de Bolyai-Gerwien. É natural perguntarmos se este teorema é válido para poliedros com volumes iguais. Essa pergunta inicialmente proposta por Bolyai e Gauss, em 1844, e depois pelo Hilbert como o Terceiro Problema na sua famosa lista de 23 problemas, foi respondida negativamente por Max Dehn, em 1902, para poliedros em dimensão três. Nosso objetivo principal é apresentar a prova de Dehn. Este artigo possui duas partes principais. A primeira é dedicada ao conceito de área: faremos uma breve revisão envolvendo alguns fatos históricos até seu formalismo na geometria e provaremos o teorema de Bolyai-Gerwien. Na segunda parte veremos como o conceito de área e suas propriedades podem ser interpretados no espaço euclidiano de dimensão três. O resultado principal é o teorema de Dehn-Hadwiger que é fundamental para resolver o problema de Hilbert para poliedros.
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