Universidade Federal de Santa Maria

Ci. e Nat., Santa Maria v.42, e87, 2020

DOI:10.5902/2179460X41928

ISSN 2179-460X

Received: 20/01/2020 Accepted: 25/06/2020 Published: 31/12/2020

Geociências

Teste de Mann-Kendall aplicado à dados hidrológicos – Desempenho dos filtros TFPW e CV2 na análise de tendências

Mann-Kendall test applied to hydrological data – Performance of TFPW and CV2 filters on trend analysis

Thais Vieira dos SantosI

Lília dos Anjos de FreitasII

Roger Dias GonçalvesIII

Hung Kiang ChangIV

I     Laboratório de Estudos de Bacias, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, SP, Brasil - thais.vieira-santos@unesp.br

II    Laboratório de Estudos de Bacias, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, SP, Brasil - lilia.freitasccb@gmail.com

III Centro de Estudos Ambientais(CEA), Laboratório de Estudos de Bacias, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, SP, Brasil - roger.dias@unesp.br

IV Centro de Estudos Ambientais (CEA), Laboratório de Estudos de Bacias Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, SP, Brasil - chang@rc.unesp.br

Resumo

Este estudo traz uma comparação inédita no desempenho de dois filtros sobre a análise de tendências em séries de dados hidrológicos. Para a análise de tendência utilizou-se o teste de Mann-Kendall, teste não-paramétrico largamente utilizado em estudos hidrológicos, e o Sen’s slope para extrair a magnitude da tendência. A presença de autocorrelação tende a impactar erroneamente na interpretação de tendência. Como a maioria dos dados em recursos hídricos apresentam autocorrelação, o uso de filtros é essencial para uma análise correta da variação temporal do dado analisado. Foram aplicados os filtros de pré-branqueamento sem tendência (TFPW) e de correção de variância (CV2) em séries de dados mensais de precipitação, vazão, armazenamento e evapotranspiração, de 2002 a 2014, e em oitenta séries de dados sintéticos. A comparação do desempenho dos filtros resultou em uma clara superioridade do TFPW, que diminuiu a autocorrelação em, no mínimo, 71.1%. Enquanto o CV2, apesar de diminuir bastante a variância dos dados, atenua muito pouco a autocorrelação (menos de 1% em quase metade das simulações). A maior discordância recaiu sobre a precipitação, onde CV2 resultou em uma tendência negativa, enquanto o TFPW, além de diminuir drasticamente a autocorrelação, retornou que a série não apresenta tendência estatisticamente significante.

Palavras-chave: Teste não-paramétrico; Análise de tendência; Hidrologia estatística.

Abstract

This study brings an original comparison related to the performance of two filters on trend analysis regarding hydrological time series. We applied the Mann-Kendall test for trend analysis, a non-parametric test widely used in hydrological studies, and Sen’s slope in order to extract the trend magnitude. The presence of autocorrelation tends to impact on trend interpretation erroneously. As most of water resources data presents serial correlation, the use of filters is essential to achieve an accurate analysis regarding temporal variation of the dataset. The filters trend free pre-whitening (TFPW) and variance correction approach (CV2) were applied on monthly time series of precipitation, streamflow, storage and evapotranspiration, from 2002 to 2014, plus eighty synthetic time series. The comparison of the filters performances showed the TFPW filter as much superior, reducing the autocorrelation by at least 71.1%. While the CV2 filter, despite strongly reducing the variance, did not impact the serial correlation (in fact, reduced less than 1% in almost half of the performed simulations). The main difference was related to the precipitation data, from which CV2 suggested a negative trend, while TFPW, besides drastically reducing autocorrelation, showed that the time series does not have a statistically significant trend.

Keywords: Mann-Kendall test; Trend analysis; Statistical hydrology.

1     Introdução

Estudos que analisam o padrão de mudança dos parâmetros hidrológicos têm somado um valor científico significativo (MULLICK, 2019), contribuindo para o uso sustentável dos recursos hídricos (SU et al., 2018) e melhorando a compreensão da mudança espacial e temporal das variáveis hidrológicas (LI et al., 2016). Na última década, diversos trabalhos focaram em analisar a tendência de dados oriundos de variáveis hidrológicas. Deste modo, é possível compreender como a interferência humana age (XU et al., 2010; FU et al., 2013; LE BROCQUE et al., 2018; ZHANG et al., 2019) assim como os padrões da natureza (ACHARJEE et al., 2017; KINLAW et al., 2019; SHI et al., 2019). Para tais análises, é necessário considerar que as observações consecutivas de dados hidrológicos podem estar fortemente correlacionadas entre si, o que afeta diretamente o cálculo e interpretação de tendências.

Dessa maneira, diversos trabalhos são desenvolvidos com o intuito de remover a autocorrelação, evidenciando tal supressão como imprescindível para uma análise correta de tendências (TABARI e TALAEE, 2011a; BAYAZIT, 2015; GAJBHIYE et al., 2016; CROITORU et al., 2016; FAN et al., 2017; FANG et al., 2018).

O teste de tendência de Mann-Kendall (MANN, 1945; KENDALL, 1975) é um dos testes não-paramétricos mais utilizados em todo o mundo para detectar tendências significativas em séries temporais (GAVRILOV et al., 2016; PATLE et al., 2016; PRABHAKAR et al., 2018; SHIVAM et al., 2019; MACHIWAL et al., 2019). A premissa para tal teste é a de que os dados sejam independentes, pois se as observações apresentarem correlação serial positiva, o teste poderá apresentar uma resposta significativa mesmo sem haver tendência de fato (COX e STUART, 1955). A hipótese nula do teste de Mann-Kendall assume que os dados são independentes e identicamente distribuídos. A não aceitação da hipótese nula implica que os dados não seguem essas características e assim não podem ser tomados como variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (conhecidas como i.i.d.) (BLAIN, 2013). Contudo, essa rejeição é frequentemente tomada como evidência de tendência numa dada série temporal, mesmo quando esta possivelmente apresenta autocorrelação positiva, como ocorre na maioria dos dados em recursos hídricos (HELSEL e HIRSCH, 2002). Desta forma, o uso do teste de Mann-Kendall (MK) em séries temporais que apresentam autocorrelação positiva pode acarretar interpretações errôneas.

Neste contexto, diversos trabalhos vêm sendo realizados com o intuito de impedir essas falsas detecções de tendência (ÖNÖZ e BAYAZIT, 2012; BLAIN, 2013; PIYOOSH, 2017; DARAND et al., 2019; IQBAL et al., 2019; PAL et al., 2019). De forma genérica, esses estudos podem ser classificados em duas abordagens distintas (HAMED, 2009). A primeira abordagem contempla a manipulação dos dados originais para atender a suposição de nenhuma dependência temporal (HAMED, 2009); enquanto a segunda modifica o algoritmo de cálculo do Mann-Kendall para considerar a presença de correlação serial (BLAIN, 2014). No campo da primeira abordagem, são comumente aplicados dois filtros distintos: pré-branqueamento (conhecido como PW; KULKARNI e VON STORCH, 1995) e pré-branqueamento sem tendência (TFPW; YUE et al., 2002). Para a segunda abordagem, temos as técnicas aplicadas por Hamed e Rao (1998) e Yue e Wang (2004). Como a correção de variância é realizada em ambas, serão referidas nesse trabalho como CV1 e CV2, respectivamente.

Neste estudo foram investigadas séries temporais mensais de dados hidrológicos, mais especificamente de precipitação, vazão, evapotranspiração e armazenamento, de 2002 a 2014 no Oeste da Bahia, por métodos estatísticos a fim de avaliar a existência de tendências significativas e o impacto da autocorrelação nestas determinações. Adotando duas abordagens estatísticas distintas, o estudo aborda a performance dos filtros de pré-branqueamento sem tendência (TFPW) e de correção de variância (CV2), em uma comparação. Neste cenário, compreende-se o objetivo de examinar o desempenho de ambos os filtros considerando um amplo espectro de valores de autocorrelação, característico dos dados relacionados aos recursos hídricos, e o impacto na análise e interpretação das tendências utilizando o teste de Mann-Kendall.

2     Materiais e Métodos

2.1 Teste de Mann-Kendall (MK)

O teste de Mann-Kendall é um teste não-paramétrico para identificar tendências em dados de séries temporais. Mann (1945) sugeriu uma comparação entre aleatoriedade e tendência, enquanto Kendall (1975) havia proposto teste para identificar correlação, cuja aplicação é semelhante à condição apresentada por Mann. A estatística do teste proposta por Kendall (1975) é dada por:

 

(1)

 

Sendo n o número de pontos de dados,  e os respectivos valores dos dados em séries de tempo i e j (j>i) e sgn dada por:

 

(2)

 

Kendall (1975) mostrou que S é normalmente distribuída com média E(S) e variância Var(S). A variância é calculada como:

 

(3)

 

em que n é o número de pontos dos dados, m é o número de grupos empatados (conjunto de dados da amostra com valores idênticos) e  indica a quantidade de valores repetidos no i-ésimo grupo.

Se o tamanho da amostra n é maior que 10, a estatística de teste normal padrão  é calculada da seguinte forma:

 

(4)

 

Valores positivos de  indicam tendências crescentes, enquanto valores negativos dedenotam tendências decrescentes. As tendências de teste são realizadas ao nível de significância específico. Neste trabalho será utilizado nível de significância de 5%.

2.2 Sen’s slope

Na última década, diversas pesquisas analisaram a magnitude da tendência em diferentes séries históricas (ADARSH e REDDY, 2015; DEKA et al., 2016; GUO et al., 2018; GUPTA e JAIN, 2018). Se há a presença de uma tendência linear em uma série histórica, então sua inclinação pode ser estimada por meio do cálculo dos mínimos quadrados usando regressão linear, entretanto o cálculo só é válido nos casos em que não há correlação serial. Além disso, o método é muito sensível a outliers. Um método mais robusto foi desenvolvido por Sen (1968), em que o Sen’s slope (b) é calculado como:

 

(5)

 

Em que e  são os dados na série histórica do tempo i e j, respectivamente, sendo j>i. Considerando n número de pontos dos dados, então N = n(n-1)/2, onde N é o número calculado de estimativas da inclinação. A inclinação de b é tomada como a mediana do número N de estimativas de inclinação. Se N é par, então e se ímpar, então e assim a estimativa da inclinação é tirada de b.

2.3 Teste de Mann-Kendall modificado

Quando os dados da série histórica não são aleatórios e são influenciados por autocorrelação, a componente de tendência é removida dos dados originais e submetida ao pré-branqueamento, calculando-se o coeficiente de correlação serial lag-1. Os dados então gerados são testados com o teste de tendência de Mann-Kendall. Este procedimento é denominado pré-branqueamento sem tendência (TFPW), cuja aplicação compreende processos que podem ser aproximados por uma tendência linear. A magnitude da tendência b é calculada por meio do Sen’s slope. Caso b seja aproximadamente zero, assume-se que o processo não pode ser aproximado por uma tendência linear e, portanto, não é necessário conduzir a análise de tendência da série temporal. Se b é diferente de zero, então o processo pode ser aproximado por uma tendência linear e a redução de tendência da série é realizada. Estudos como Önöz e Bayazit (2012) e Blain (2014) constataram que o TFPW é frequentemente mais poderoso que o PW para detecção de tendências. Sua utilidade pode ser verificada em diversos trabalhos na área (por exemplo, KHALIQ et al., 2009; CALOIERO et al., 2011; AHMAD et al., 2015; HAJANI et al., 2017; YAN et al., 2019; FAKHARIZADEHSHIRAZI et al., 2019).

Outra proposta para a modificação do teste de Mann-Kendall consiste em uma correção de variância na estatística S do teste de Mann-Kendall. Em CV2, o fator de correção é calculado através do coeficiente de autocorrelação lag-1 dos dados de séries temporais. Se a tendência existente puder ser aproximada por uma tendência linear, esta abordagem pode eliminar o efeito da autocorrelação. Em estudo comparativo realizado por Piyoosh (2017), concluiu-se que CV2 é mais eficiente na limitação do efeito da autocorrelação de CV1. Assim, utilizaremos CV2, cujo método de correção de variância foi abordado nos seguintes trabalhos: TABARI e TALAEE, 2011b; AL-JUBOORI, 2019; LAKHRAJ-GOVENDER e GRAB, 2019; WANG et al., 2019; VIHMA et.al., 2020).

2.4 Distribuição normal

Segundo Correia (2003), a distribuição normal tem sua função de densidade de probabilidade definida por:

 

(6)

 

Sendo os parâmetros descritos possuem os seguintes significados:

 posição central da distribuição (média, )

dispersão da distribuição (desvio padrão, )

 

Se uma variável X tem distribuição normal com média  e variância , ela é definida por: X ~ N(). A Figura 1 ilustra uma curva normal típica, com seus parâmetros descritos graficamente.

Figura 1 – Curva normal típica

Figura1

 

2.5 Modelos autorregressivos (AR)

Para uma análise mais robusta, de maneira complementar, foi empregada distribuição normal para gerar números aleatórios (técnica presente em diversos trabalhos, tais Shemehsavar 2019; e Cadenas et al., 2019), para que, desta forma, gerar séries históricas auto correlacionadas a partir do modelo autorregressivo.

O modelo autorregressivo pressupõe que Zt (observação) seja uma combinação linear de p valores anteriores da série e de um ruído branco  (DOS SANTOS, 2007). Temos que tal modelo autorregressivo de ordem p é denotado por AR(p) de tal forma que:

 

(7)

 

Para gerar as simulações analisadas, foi considerada a distribuição normal que inicialmente foi definida com média 0 e desvio padrão 1. Consequentemente, foram gerados os valores subsequentes a partir de uma distribuição normal com média igual a (autocorrelação) vezes ao valor anterior e desvio padrão igual a 1, sendo essa a lógica do modelo autorregressivo. Ao fazer isso é gerado séries de números pseudoaleatórios como realizado em trabalhos da última década (RASTOGI et al., 2015, HONG, 2016; DONG et al., 2019).

2.6 Dados hidrológicos

As séries históricas utilizadas estão compiladas no trabalho de Gonçalves et al. (2019), que consiste em dados hidrológicos referentes às séries de precipitação, vazão, evapotranspiração real e variação do armazenamento no Sistema Aquífero Urucuia no período de 2002 a 2014. Os dados de precipitação compreendem as médias mensais observadas nas estações pluviométricas do banco de dados da Agência Nacional de Águas (http://hidroweb.ana.gov.br/), assim como as séries de vazões, a partir de estações fluviométricas localizadas no oeste da Bahia. A evapotranspiração real mensal foi obtida através do GLDAS Noah Land Surface Model L4 Version 2.0 (Rodell et al., 2004). Por fim, a variação do armazenamento foi extraída a partir dos satélites GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment).

3     Resultados e Discussão

3.1 Análise de desempenho dos filtros em séries de dados hidrológicos

Nesta seção são apresentados os resultados obtidos por meio da análise dos dados de vazão, precipitação (PRECIP), evapotranspiração (ET) e variação do armazenamento (ARM). Para tanto, foram utilizados dados com frequências mensais do estado da Bahia, entre os anos de 2002 a 2014, para a aplicação dos filtros TFPW e CV2. Estes métodos trata-se de modificações para o teste não-paramétrico de Mann-Kendall e possuem abordagens distintas, como já salientado anteriormente. A Tabela 1 a seguir ilustra os resultados obtidos.

Tabela 1 – Valores da variância do Mann-Kendall, Sen’s slope, autocorrelação e tendência dos dados de evapotranspiração (ET), armazenamento (ARM), precipitação (PRECIP) e vazão (VAZÃO) de dados mensais do estado da Bahia no período de 2002 a 2014

 

Variância

Sen’s slope

TFPW

CV2

TFPW

CV2

ET

3,21x105

6,30x104

4,18x10-3

4,80x10-3

ARM

3,21x105

4,58x104

-5,91x10-2

-5,94x10-2

PRECIP

3,21x105

4,21x104

-3,32x10-3

-3,01x10-3

VAZÃO

3,21x105

7,83x104

-1,68x10-3

-1,75x10-3

 

Autocorrelação

Tendência

 

TFPW

CV2

TFPW

CV2

ET

3,52x10-1

7,65x10-1

Não há tendência

Não há tendência

ARM

5,67x10-1

8,30x10-1

Tendência negativa

Tendência negativa

PRECIP

4,06x10-3

5,30x10-1

Não há tendência

Tendência negativa

VAZÃO

1,16x10-1

6,20x10-1

Tendência negativa

Tendência negativa

 

De acordo com a Tabela 1, apenas para os dados de precipitação houve uma distinção na conclusão dos métodos com respeito à evidência de tendência. Em relação aos resultados da autocorrelação, os respectivos dados de evapotranspiração, armazenamento, precipitação e vazão apresentaram um maior valor para CV2 em comparação ao TFPW. Portanto, à luz destes resultados, o filtro TFPW foi mais eficiente na supressão da autocorrelação nas séries de dados hidrológicos.

Para as análises posteriores, variância e inclinação da tendência (Sen’s slope), os dois métodos apresentaram algumas diferenças entre si para os parâmetros analisados. Em relação à precipitação, o TFPW apresentou variância maior quando comparado com CV2. Quanto à inclinação da tendência, TFPW resultou em valor ligeiramente maior do que o obtido pelo CV2.

Para a série de evapotranspiração, o TFPW apresentou maior valor de variância e menor inclinação da tendência. Já CV2 retornou um valor de variância igual a 6,30x104 e inclinação da tendência igual a 4,80x10-3. Com os dados de armazenamento, o TFPW retornou o valor da variância igual a 3,21x105 e maior magnitude na inclinação da tendência. Em contrapartida, o CV2 retornou variância igual a 4,58x104 e inclinação da tendência igual a -5,94x10-2. Com respeito aos dados de vazão, para o TFPW a variância se manteve e a quantificação da inclinação da tendência foi maior; enquanto que o CV2 apresentou menor variabilidade dos dados e -1,75x10-3 de inclinação da tendência.

Dentre as quatro variáveis observadas, duas demonstraram tendência de queda significativa com o filtro TFPW, sendo armazenamento e vazão, enquanto que para as séries de evapotranspiração e precipitação obteve-se que não há tendência estatisticamente significativa. Em relação ao filtro CV2, apenas a evapotranspiração obteve resultado de não tendência, enquanto as demais apresentaram tendência de queda significativa.

Para as taxas de evapotranspiração, os dois métodos apresentaram resultados não relativos e, neste parâmetro, a variância de CV2 foi menor que a de TFPW, tal como o Sen's slope. Em relação ao armazenamento e à vazão, ambas as técnicas demonstraram que há uma taxa negativa estatisticamente significativa, e, além disso, a variância e o Sen's slope foram maiores para o TFPW.

Os resultados indicam que a precipitação foi a exceção, em que os resultados de TFPW e CV2 retornaram conclusões distintas a respeito da tendência, mesmo apresentando coeficientes de autocorrelação idênticos. Ainda, houve maior variabilidade para o TFPW e maior inclinação da tendência para o CV2.

Em resumo, a técnica TFPW quando comparada ao CV2 apresentou uma menor presença de tendência nas séries históricas analisadas, além de um maior grau de variância e menor inclinação das tendências. Especificamente para os dados de evapotranspiração e precipitação, os valores de inclinação das tendências calculados a partir do TFPW foram sensivelmente inferiores aos do CV2. Entretanto, o TFPW diminuiu consideravelmente os fatores de autocorrelação das séries.

3.2 Análise de desempenho dos filtros em simulações baseadas em distribuição normal

Conjuntos de experimentos baseados na distribuição normal foram simulados a fim de avaliar a diminuição da autocorrelação por parte dos filtros com relação a autocorrelação original em diversas séries sintéticas. Assim, foram geradas oitenta séries temporais com diferentes valores de autocorrelação, os quais foram distribuídos de acordo com as séries hidrológicas.

Dessa forma, quatro conjuntos de vinte simulações foram executados com base na distribuição normal similar para cada parâmetro hidrológico (precipitação, vazão, armazenamento e evapotranspiração). Lembrando que as simulações foram geradas a partir de uma distribuição normal com média igual a autocorrelação, vezes o valor anterior, e desvio padrão igual a 1, sendo essa a lógica do modelo autorregressivo. A Tabela 2 apresenta a autocorrelação de cada série hidrológica e as variações das autocorrelações das séries simuladas.

Quando analisadas as séries hidrológicas observadas, vê-se claramente uma diferença nas autocorrelações entre os parâmetros hidrológicos. A precipitação compreende a série hidrológica com menor autocorrelação nos dados, enquanto que a variação do armazenamento na bacia estudada é o parâmetro com maior autocorrelação na série de dados. Com valores intermediários temos a série de vazão e evapotranspiração. Neste cenário, um conjunto de experimentos consistindo em vinte simulações similares à cada parâmetro hidrológico permite testar o desempenho dos filtros TFPW e CV2 em um amplo espectro de autocorrelações, 0.52669 a 0.87781, como pode ser visto na Figura 2.

Tabela 2 – Valores da autocorrelação máxima e mínima das séries simuladas para evapotranspiração (ET), armazenamento (ARM), precipitação (PRECIP) e vazão (VAZÃO)

 

PRECIP

VAZÃO

ET

ARM

Autocorrelação    dado hidrológico

0.53049

0.64530

0.76560

0.83712

Autocorrelação mínima simulada

0.52669

0.62221

0.72846

0.80512

Autocorrelação máxima simulada

0.57959

0.67781

0.80009

0.87781

 

Os filtros TFPW e CV2 foram, portanto, aplicados nas séries simuladas baseadas nas quatro séries históricas de dados hidrológicos, e foi então analisado o quanto a autocorrelação diminuiu nas oitenta séries. A distribuição destes resultados pode ser vista na Figura 2. O filtro TFPW diminuiu grande parte da autocorrelação em todos as séries de dados, enquanto o filtro CV2 resultou em uma menor diminuição da autocorrelação nas séries. A Tabela 3 ilustra as variações da diminuição da autocorrelação simulada em relação a autocorrelação original utilizando os filtros CV2 e TFPW.

Figura 2 – Valores da distribuição das autocorrelações das simulações baseadas na distribuição normal antes e após o uso dos filtros TFPW e CV2

Figura2

 

A diferença entre o desempenho dos filtros na diminuição da autocorrelação das séries é marcante, considerando todo o espectro de variação de autocorrelação do conjunto de séries, sendo o filtro TFPW muito superior nesse quesito. O pior desempenho do filtro TFPW, dentre as oitenta simulações, foi uma diminuição de 71.1% na autocorrelação, ou seja, uma diminuição ainda razoável. Enquanto o filtro CV2, em 36 séries, diminuiu a autocorrelação em menos de 1%, ou seja, em 45% das séries simuladas o CV2 não impactou na autocorrelação dos dados.

Tabela 2. Valores da diminuição máxima e mínima da autocorrelação dos dados simulados de evapotranspiração (ET), armazenamento (ARM), precipitação (PRECIP) e vazão (VAZÃO) aplicando os filtros CV2 e TFPW

 

PREC

VAZÃO

ET

ARM

 

CV2

TFPW

CV2

TFPW

CV2

TFPW

CV2

TFPW

Diminuição mínima

0.00002

0.41221

0.00022

0.51625

0.00007

0.65164

0.00030

0.68923

Diminuição máxima

0.08103

0.61653

0.05461

0.73042

0.34715

0.84046

0.04523

0.87981

 

 

4     Conclusões

Para nosso estudo, a única variável hidrológica em que nossos filtros apresentaram diferença foi a precipitação, onde as análises discordaram quanto a presença de tendência. Dessa forma, focando na utilização de filtros com o intuito de diminuir a autocorrelação existente em dados hidrológicos, pode-se afirmar que, para todas as variáveis em análise (precipitação, vazão, armazenamento e evapotranspiração), o filtro TFPW foi o melhor em nosso estudo. Já o filtro CV2 manteve uma postura mais conservadora, isto é, diminuiu pouco a autocorrelação nas séries de dados, contudo diminuiu de maneira mais agressiva a variância dos dados.

Em tempos que a pauta de mudanças climáticas se encontra globalmente no foco dos estudos ambientais, discordâncias em análises de tendências em séries históricas de dados hidrológicos é de suma importância. Por exemplo, a precipitação é um parâmetro basal em todo estudo climático, e a resposta sobre haver ou não uma tendência de queda com base no histórico de uma área é fundamental para o entendimento do clima e aferição dos possíveis impactos antropogênicos sobre o regime de chuvas ao longo do tempo, assim como em estudos sobre o futuro climático com base em tendências.

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