Universidade Federal de Santa Maria

Ci. e Nat., Santa Maria v.42, Special Edition: Micrometeorologia, e10, 2020

DOI:10.5902/2179460X45341

ISSN 2179-460X

Received: 01/06/20  Accepted: 01/06/20  Published: 28/08/20

Special Edition

Caracterização da transição laminar-turbulenta em um escoamento de Couette plano devido à Estratificação estável utilizando CFD

Characterization of Laminar-Turbulent transition in a plane Couette flow due to stable stratification using CFD

Jean Jonathan Schuster ^I

Áttila Leães Rodrigues ^II

Luis Fernando Camponogara ^III

Luis Eduardo Medeiros ^IV

Felipe Denardin Costa ^V

^I   Universidade Federal do Pampa, Alegrete, Brasil. E-mail: jeanjschuster@gmail.com.

^II Universidade Federal do Pampa, Alegrete, Brasil. E-mail: attila.leaes@gmail.com.

^III Universidade Federal do Pampa, Alegrete, Brasil. E-mail: lfcamponogara@gmail.com.

^IV Universidade Federal do Pampa, Alegrete, Brasil. E-mail: ducamobi@gmail.com.

^V Universidade Federal do Pampa, Alegrete, Brasil. E-mail: fdenardin@unipampa.edu.br.

RESUMO

Apesar dos recentes avanços no entendimento da dinâmica física dos parâmetros térmicos e mecânicos que controlam o escoamento na camada limite noturna, estes ainda não são completamente compreendidos. O surgimento da intermitência de maneira natural no escoamento também não é um consenso na comunidade científica de camada limite. Muitos dos trabalhos que apresentam estudos numéricos sobre intermitência fazem uso de forçantes externos ao escoamento que são responsáveis pelo ressurgimento da turbulência. Assim, a presente proposta visa o desenvolvimento de um experimento numérico para o estudo da transição laminar-turbulenta utilizando fluidodinâmica computacional. Neste caso, a estratificação térmica será aplicada a um escoamento turbulento completamente desenvolvido, para se obter condições de forte estabilidade e reproduzir um escoamento intermitente. Os resultados mostram quando o regime de escoamento é completamente turbulento todos os níveis estão acoplados pela turbulência, fazendo com que campos de velocidade e temperatura sejam mais homogêneos no centro do domínio. A medida que é introduzido um gradiente de temperatura no escoamento, os níveis verticais tornam-se desacoplados, e em condições muito estáveis a turbulência é totalmente suprimida. Enquanto que a distinção entre os regimes de escoamento é evidente a transição entre os regimes de escoamento ocorre de forma intermitente.

Palavras-chave: Simulação de Grandes Turbilhões; Intermitência; Camada Limite Estável; Transição Laminar-Turbulenta.

ABSTRACT

Despite recent advances in understanding the physical capacity of the thermal and mechanical parameters that control or isolate the nocturnal boundary layer, these are not yet fully understood. The emergence of natural intermittence in runoff is also not a consensus in the boundary layer scientific community. Many of the studies that present numerical studies on intermittence make use of external flow, forcing that is responsible for the resurgence of turbulence. Thus, the current proposal aims to develop a numerical experiment to study the laminar-turbulent transition using computational fluid dynamics. In this case, the thermal stratification will be applied to a turbulent flow entirely generated to obtain conditions of robust stability and to reproduce an intermittent flow. The results show that when the flow regime is thoroughly turbulent, all levels are coupled by turbulence, making speed and temperature fields more homogeneous in the center of the domain. The results show that when the flow regime is completely turbulent, all levels are coupled by turbulence, making speed and temperature fields more homogeneous in the center of the domain. As a temperature gradient is introduced into the flow, the vertical levels become uncoupled, and under very stable conditions, the turbulence is wholly suppressed. While the distinction between flow regimes is evident, the transition between flow regimes occurs intermittently.

Keywords: Large Eddy Simulation; Intermittency; Stable Boundary Layer; Laminar-Turbulent Transition.

1 Introdução

Os regimes de escoamento na camada limite estável (CLE) são classificados como sendo muito estável e pouco estável (MAHRT et al., 1998) e, geralmente, a transição entre esses ocorre de maneira abrupta (ACEVEDO; COSTA; DEGRAZIA, 2012). Além disso, durante o regime muito estável a turbulência é praticamente suprimida em quase todas as suas escalas, todavia, essa ressurge de maneira abrupta e imprevisível dando origem a um fenômeno conhecido como intermitência global (MAHRT, 1999). Costa et al. (2011) sugerem, através dos resultados obtidos com um modelo simplificado, que a intermitência global, ou simplesmente intermitência, é um modo natural do escoamento na CLE, a mesma somente surge em condições nas quais fatores térmicos e mecânicos externos ao escoamento à favorecem.

Apesar dos recentes avanços no entendimento da dinâmica física dos forçantes térmicos e mecânicos que controlam o escoamento na camada limite noturna, estes ainda não são completamente compreendidos, assim como o surgimento de intermitência de maneira natural no escoamento também não é um consenso na comunidade científica de camada limite. Muitos dos trabalhos que apresentam estudos numéricos sobre intermitência fazem uso de forçantes externos ao escoamento que são responsáveis pelo ressurgimento da turbulência (CUXART; JIMÉNEZ, 2007; BOING et al., 2010; DONDA et al., 2015).

 Assim, o presente estudo visa o desenvolvimento de um experimento numérico para a transição laminar-turbulenta utilizando a fluidodinâmica computacional, fazendo-se uso do método de simulação de grandes turbilhões. Neste caso uma estratificação por densidade será aplicada a um escoamento turbulento completamente desenvolvido, para obter-se condições de forte estabilidade e tentar reproduzir um escoamento intermitente. Através deste experimento pretende obter-se a velocidade e gradiente de temperatura mínima para que ocorra a transição entre os escoamentos, e como essa transição afeta a difusão de momento e energia na forma de calor. 

2 Metodologia

Para a realização do presente trabalho, utilizou-se como fluído o ar a temperatura de 300 K e um número de Reynolds na ordem de , obtendo assim a velocidade da placa superior de 0,8 m/s. Essa velocidade é bem abaixo de 0,3 Ma, portanto o fluído pode ser considerado incompressível (WHITE,2010). Na tabela 1 apresenta as propriedades adotadas para a simulação.

Tabela 1– Propriedades termo-fisicas do ar atmosférico a 300 K

[K]	[kg m^-3]	[kJ kg^-1 ºC^-1]	[kg m^-1 s^-1]	[m² s^-1]	[W m^-1 ºC^-1]	[m² s^-1]	Pr
300	1,1774	1,0057	1,8462	15,69	0,02624	0,2216	0,708

Onde,  é a temperatura; a densidade do fluído;  o calor específico a pressão constante;  a viscosidade dinâmica;  a viscosidade cinemática;  a condutividade térmica; α a difusividade térmica;  o número de Prandtl.

O domínio computacional tem dimensões de  na direção do escoamento e na direção ortogonal ao escoamento, respectivamente. A altura do canal é , onde  m é a distância média na direção de , conforme a Figura 1. A escolha pela utilização destas dimensões deu-se pelo fato de o mesmo ter sido utilizado por Lee (1991) em um estudo de escoamento de Couette, porém neste estudo não havia gradiente de temperatura entre as superfícies e o método de solução utilizado foi simulação numérica direta (DNS, do inglês direct numerical simulation). A malha utilizada possui  divisões em  , resultando em  elementos discretos onde são discretizadas as equações da continuidade (equação (1)), do momento (equação (2)) e energia (equação 3).

	(1)
	(2)
	(3)

Onde  é o campo de velocidade,  é densidade, p pressão estática,  aceleração da gravidade,  é a soma da da viscosidade molecular e turbulenta e o é o tensor taxa de deformação definido pela equação 4.

(4)

Figura 1 – Características do domínio utilizado

            As equações (1)-(3) são discretizadas no domínio utilizando o método dos volumes finitos e integradas temporalmente utilizando o método backward de segunda ordem. A implementação das equações foi realizada através do algoritmo PIMPLE, que é uma combinação dos algoritmos PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operators) e SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations). A vantagem do Algoritmo PIMPLE é que o mesmo permite que a simulação permaneça estável mesmo com números de Courant () mais altos (HOLZMANN, 2016).

            Como condições de contorno ambas as superfícies superior e inferior contam com a condição de não escorregamento, estando inicialmente na temperatura de  K. As demais fronteiras são cíclicas ou periódicas. Inicialmente o passo de tempo adotado foi de  e ao decorrer da simulação será ajustado automaticamente para que o número de Courant (Eq. (5)) não ultrapasse o valor máximo estabelecido de . A simulação foi realizada por um período de  s antes do resfriamento para garantir que o período transiente não teria mais influência sobre as soluções. O resfriamento utilizado foi de K.

(5)

O modelo de turbulência utilizado foi a simulação de grandes turbilões (LES, do inglês large eddy simulation) onde as grandes escalas são resolvidas e as escalas de sub-grade (SGS, do inglês sub grid scale) são modeladas. A escala SGS adotada para a simulação foi o modelo de uma equação, ou oneEqEddy, o qual usa uma equação de equilíbrio modelada para a energia cinética turbulenta (ECT) (Eq. 6). Segundo Penttinen, Yasari e Nilsson (2011), a viscosidade do turbilhão é modelada de maneira similar ao modelo de Smagorinsky.

(6)

3 Resultados e Discussão

A validade do escoamento turbulento, foi verificada através da representação da lei de parede. Em um escoamento turbulento, existem três regiões, nominalmente: a subcamada viscosa; a camada externa; e a camada intermediária (WHITE, 2010). Na subcamada viscosa, as forças viscosas dominam o escoamento, e nessa região , se estendendo até  (KIM; MOIN; MOSER, 1987; LAGHA et al., 2011). Nas expressões  é a média para todas as células do domínio, adimensionalizada pela velocidade de fricção  e  , sendo  é a distância do centro da célula até a parede e  é a viscosidade cinemática. Na subcamada externa , segue um perfil logarítmico representado pela equação (7).

(7)

Onde  é a constante de von Kàrmàn e  é uma constante com valor de aproximadamente 5,5 (POPE, 2001). A Figura 2 mostra que apesar do perfil médio de velocidade da simulação realizada nesse trabalho representar ambas as regiões, ela subestima os valores encontrados por Kim, Moin e Moser (1987). Isso se deve particularmente devido ao modelo de turbulência utilizado nas simulações. Enquanto Kim, Moin e Moser (1987), utilizaram DNS em suas simulações e o modelo de turbulência utilizado aqui foi LES. Ainda assim, cabe destacar que apesar do modelo utilizado ser bem mais simples que o utilizado por Kim, Moin e Moser (1987), a lei de parede mostra que o modelo representa de forma adequada o comportamento do fluído dentro da camada interna, em um escoamento turbulento (Figura 2).

A Figura 3 mostra o espectro de energia da série temporal de velocidade na direção do escoamento, para o período entre 1800 s a 7200 s de simulação. É possível observar a presença de turbulência completamente desenvolvida, homogênea e isotrópica, através da presença do subintervalo inercial (KOLMOGOROV, 1941), para frequências entre 10^-2 Hz e 10^-1 Hz. Após a linha pontilhada vermelha o espectro apresenta a região da parametrização do filtro de sub-grade.

Figura 2 – Lei de parede para a velocidade média adimensional pela distância do centro do elemento de volume finito com relação à fronteira inferior

Figura 3 – Espectro de energia para a última hora do período inicial de simulação

A Figura 4 mostra as séries temporais de ECT, para diferentes níveis do domínio vertical. Note que, para os níveis próximos a fronteira superior apesar de haver uma diminuição na amplitude das escalas de turbulência é possível observar a presença de oscilações na intensidade da turbulência. Por outro lado, quando é observado o outro extremo do domínio, a parte inferior, em torno dos 10600 s, ocorre o primeiro de seis eventos intermitentes de turbulência, onde as escalas de k tiveram um aumento abruto em um fator de sete vezes para o nível 0,1 m. É interessante notar que os resultados apresentados são mais similares aos resultados obtidos por Ohya, Nakamura e Uchida (2008), através de experimentos em túnel de vento, do que os resultados obtidos por Zhou e Chow (2011) utilizando LES. Entretanto, as simulações de Zhou e Chow (2011) são para a camada limite atmosférica, enquanto que as simulações, aqui apresentadas são para um escoamento de Couette plano.

Figura 4 – Série temporal de k para os níveis indicados

Devido às condições de fronteiras serem cíclicas e existirem muita similaridade entre os eventos intermitentes, principalmente próximo ao domínio inferior, foi realizada a análise da estrutura das frequências para a série temporal da componente V do campo de velocidade para o nível 0,2 m usando a transformada de Wavelets Morlet et al. (1982a), Morlet et al. (1982b) (Figura 5). A Figura 5, mostra que após 7200 s de simulação, é possível identificar uma região em que o período tem um valor aproximadamente constante de 2048 s, porém, sempre que ocorre um evento intermitente de turbulência, surge uma nova região de maior amplitude onde o período varia aproximadamente entre 512 s e 1024 s para o primeiro, segundo, terceiro e sétimo evento, enquanto para o quarto, quinto e sexto evento o período foi praticamente constante e com valor aproximado de 900 s para a região dominante.

Figura 5 – Transformada de wavelet de Morlet para a série temporal de u no nível 0,2 m. A linha preta na seção superior mostra a série temporal e a linha vermelha a série reconstruída pela transformada de wavelet. Na seção inferior, a região interna as áreas laterais com transparência branca representam o cone de influência onde a confiabilidade é de 95%. As regiões vermelhas representam as frequências mais relevantes enquanto as azuis as menos relevantes. Foram realizadas 1000 simulações para a reconstrução da série temporal e posterior geração da figura

As séries temporais de ECT por Ri mostram a relação entre a intensidade da estratificação térmica e da quantidade de turbulência no escoamento (Figura 6). O valor de  parte de um valor próximo a zero, e após cerca de 1800 s de um período transiente  passa a exibir menos flutuações onde para o nível 0,02 m  tem um valor aproximadamente constante de 0,04 enquanto para os outros níveis esse valor é de aproximadamente 0,8. Perto dos 10600 s, quando ocorre o primeiro evento de turbulência intermitente, e logo após Ri cai de forma abrupta e atinge os menores valores da série, enquanto ECT aumenta repentinamente atingindo os valores mais altos da série. Este comportamento é esperado, pois quanto maior a turbulência menor deve ser o valor de , pois as forças cisalhantes superam as forças de empuxo.

Entretanto, é importante destacar que o número de Richardson em todos os níveis se manteve, abaixo de . Esse resultado mostra que a estratificação, apenas reduziu a intensidade da turbulência e a amplitude das flutuações turbulentas, porém, não foi capaz de laminarizar o escoamento (Figura 6).

A confirmação da não laminarização do escoamento é evidenciada quando o espectro de energia da componente da velocidade na direção do escoamento é analisado (Figura 7). A Figura 7 exibe as mesmas características presentes na Figura 3, para o caso com turbulência bem desenvolvida, as quais são a clara presença do subintervalo inercial, e da parametrização de sub-grade. É importante destacar que o subintervalo inercial está compreendido entre uma faixa menor de frequências, e está mais “deslocado para a direita” (entre  Hz e 0,3 Hz), próximo da frequência de corte da parametrização de sub-grade (em torno de 0,8 Hz). Isso se deve ao tamanho dos turbilhões que estão sendo simulados serem menores que no caso com turbulência plenamente desenvolvida.

Figura 6 – Série temporal  e  para os níveis indicados

4 Conclusão

Segundo os resultados obtidos pelo experimento numérico quando o regime de escoamento é turbulento todos os níveis estão energeticamente acoplados pela turbulência, fazendo com que campos de velocidade e temperatura sejam mais homogêneos no centro do domínio. Isso ocorre devido à camada limite turbulenta ser mais espessa que a laminar, fazendo com que os efeitos causados pelas fronteiras sejam sentidos com uma intensidade muito maior na direção vertical. Já no regime laminar tal acoplamento não é encontrado e na existência de um gradiente de temperatura o escoamento pode tornar-se termicamente estratificado.

Figura 7 – Espectro de energia intermitente para a componente  no nível 0,02 m

Tais experimentos têm fundamental importância para construir-se um conhecimento básico mais sólido em temas onde ainda existem lacunas a serem preenchidas. Dentre estes temas, temos sistemas estratificados por densidade frequentemente encontrados na natureza, como por exemplo, o ar na CLE sob a influência do campo gravitacional. Nessas condições as variáveis turbulentas são difíceis de serem estimadas, uma vez que este tipo de escoamento mostra-se, muitas vezes, bastante intermitente, tornando difícil a previsão do tempo.

Um dos objetivos deste trabalho foi a reprodução do fenômeno da intermitência que ocorre na CLE em um modelo de geometria simples, excluindo a complexidade existente no fenômeno real como a relevo, fluxos de calor complexos proveniente dos diferentes tipos de cobertura do solo entre outros. Este objetivo foi dado como alcançado, já que para o caso foram observados em sete ocasiões durante o período de cinco horas de simulação (excluindo às duas horas iniciais), em que o escoamento parte de um estado com fraca turbulência para um estado em que as escalas de turbulência chegam, em alguns momentos, a superar as escalas que ocorrem antes de inserção do gradiente de temperatura.

Cabe ressaltar que a técnica ideal para tal tipo de experimento é o DNS, porém este possui custo computacional extremamente elevado. Além disso, a validação dos resultados apresentados aqui permite que os mesmos sejam utilizados, como foi mostrado através da análise da lei de parede. Por fim, os resultados apontam a possibilidade de ampliação das análises para outras áreas, como por exemplo: a análise dinâmica e também a exploração mais detalhada da transição laminar turbulenta. Ambas com implicações diretas na modelagem do comportamento do escoamento da CLE muito estável, e na criação de novas parametrizações.

Agradecimentos

Os autores agradecem às agências CAPES (Coordenação de Pessoal de Nível Superior), ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) (FDC Auxílio n^o 313022/2018−6) e à Universidade Federal do Pampa pelo suporte financeiro. As simulações numéricas foram realizadas no cluster computacional adquirido com recursos do Edital 02/2014 - PqG (Edital Pesquisador Gaúcho) da Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado do Rio Grande do Sul (FAPERGS) e no Servidor computacional adquirido com recursos do Edital Universal-CNPq 01/2016 (Processo n^o 426409/2016−7).

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