Universidade Federal de Santa Maria
Ci. e nat., Santa Maria, V. 42, Special Edition, e16, 2020
DOI: http://dx.doi.org/10.5902/2179460X40515
Received: 10/10/2019 Accepted: 10/10/2019
Special Edition
Equações diferenciais para resolução do circuito elétrico LRC
Differential equations for the resolution of LRC electrical circuit
Eduardo Silva CarlosI
Iuri Hermes MullerII
Aline Brum LoretoIII
Ana Luisa SoubhiaIV
Camila Becker PicolotoV
I Universidade Federal de Santa Maria, Campus Cachoeira do Sul, Cachoeira do Sul, Brasil - 96eduardoc@gmail.com
II Universidade Federal de Santa Maria, Campus Cachoeira do Sul, Cachoeira do Sul, Brasil - iurihmuller@hotmail.com
III Universidade Federal de Santa Maria, Campus Cachoeira do Sul, Cachoeira do Sul, Brasil - aline.loreto@ufsm.br
IV Universidade Federal de Santa Maria, Campus Cachoeira do Sul, Cachoeira do Sul, Brasil - ana.soubhia@ufsm.br
V Universidade Federal de Santa Maria, Campus Cachoeira do Sul, Cachoeira do Sul, Brasil - camila.picoloto@ufsm.br
Resumo
O estudo de equações diferenciais proporciona uma série de ferramentas matemáticas que facilitam a compreensão de muitos problemas. No presente trabalho, o objetivo é modelar um problema prático da Engenharia Elétrica utilizando equações diferenciais e, na sequência, determinar analiticamente uma solução e comparar os resultados teóricos com os resultados obtidos no experimento de laboratório. Primeiramente, apresenta-se a equação diferencial linear de segunda ordem e o método de coeficientes indeterminados, depois, o problema de um circuito elétrico LRC – circuito de malha simples que envolve um indutor (L), um resistor (R) e um capacitor (C) – junto a uma fonte eletromotriz será investigado. Após a modelagem do circuito LRC, obtém-se uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. O objetivo é resolver a equação para determinar a carga (q(t)) que oscila entre o capacitor e o indutor em função do tempo. A solução geral da equação diferencial é, então, obtida a partir das soluções homogênea (atribuindo uma solução na forma exponencial) e particular (empregando o método dos coeficientes indeterminados, devido a forma da função). Condições iniciais referentes à carga inicial e à corrente inicial podem ser utilizadas, junto aos métodos analíticos para que a solução particular do problema seja encontrada.
Palavras-chave: Equações diferenciais, circuitos elétricos, métodos analíticos.
Abstract
Studies about differential equations provide many mathematical instruments that aid the insight of many practical problems. The goal of this paper is to obtain a differential equation that describes an Electrical Engineering problem, then to define the solution of this equation using analytical methods and to compare theoretical and experimental results. Firstly, the second order differential equation with constant coefficients and the analytical method to obtain the respective solution will be studied; later this solution will be applied in the problem of an LRC electrical circuit with simple mesh with an inductor (L), a resistor (R), a capacitor (C) and an electromotive source. The goal is to solve the differential equation to define the charge, in function of the time, between the capacitor and the inductor. The solution is obtained from the homogeneous solution (admitting a solution in the exponential form) and the particular solution (using the undetermined coefficients method, due to function form). Initial conditions for the initial charge and the initial current can be used, with the analytical methods, to find the particular solution of the problem.
Keyword: Differential equations; Electrical circuits; Analytical methods
1 Introdução
Equações contendo derivadas são chamadas equações diferenciais. Diversos princípios, ou leis, que regem o mundo físico podem ser modelados matematicamente a partir dessas equações, que representam a taxa conforme fenômenos físicos acontecem. As equações diferenciais podem ser classificadas conforme suas derivadas em ordinárias (derivadas de funções de uma variável independente) ou parciais (derivadas de funções de duas ou mais variáveis independentes). Além disso, podem ser classificadas de acordo com a ordem das derivadas: primeira ordem, segunda ordem ou de ordem superior (BOYCE, 2015).
Dentre
os problemas que podem ser modelados por equações diferenciais, estão os
circuitos elétricos LRC, estudados nas áreas de Engenharia Elétrica. Esses
circuitos são de malha simples e envolvem um indutor, L, um resistor, R,
e um capacitor, C, agregado a uma fonte eletromotriz. Ao modelar esses
circuitos, pode-se obter uma equação diferencial ordinária de segunda ordem com
coeficientes constantes cuja solução representa o comportamento da carga
elétrica que oscila no circuito em
função do tempo.
O presente trabalho tem por objetivo estudar a solução geral de uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar essa solução para modelar um circuito LRC de malha simples. A modelagem do circuito consiste na obtenção de uma equação diferencial a partir da soma das tensões sobre cada elemento do circuito (indutor, resistor, capacitor e fonte eletromotriz), atribuindo os valores destes aos coeficientes da equação. Para a resolução da equação, foram obtidas as soluções homogênea e particular. A solução homogênea foi determinada considerando uma solução na forma exponencial, enquanto que a solução particular pode ser determinada através dos métodos dos coeficientes indeterminados ou de variação de parâmetros (BOYCE, 2015). Para este trabalho, aplicou-se o método dos coeficientes indeterminados, pois a fonte eletromotriz é representada por uma função seno o que torna este método mais viável, devido a maior facilidade de resolução comparado ao método de variação de parâmetros. Determinou-se, então, a solução geral da equação diferencial dada como uma combinação linear das funções exponencial, seno e cosseno. Posteriormente, uma análise dos resultados obtidos foi realizada.
O artigo está estruturado da seguinte forma: na seção 2, está apresentada a fundamentação teórica utilizada para o embasamento do presente trabalho; na seção 3, tem-se o desenvolvimento do trabalho, partindo de um circuito LRC, a modelagem através da equação diferencial e as soluções homogênea, particular e geral; na seção 4, são apresentados e discutidos os resultados finais; e na seção 5, são apresentadas as considerações finais pertinentes ao presente trabalho.
2 Referencial teórico
Nesta seção será realizada uma revisão bibliográfica que dá aporte para o desenvolvimento do trabalho. Serão abordados fundamentos e conceitos sobre equações diferenciais de segunda ordem, assim como os métodos de obtenção de suas soluções, e sobre circuitos LRC em geral.
2.1 Equações diferenciais de segunda ordem
Segundo Boyce (2015), as equações diferenciais ordinárias (EDO) de segunda ordem com coeficientes constantes podem ser escritas, de forma geral, conforme a Equação (2.1)
(2.1)
onde
,
e
são os coeficientes
constantes da equação e
uma função da variável
independente
.
De
acordo com Zill (2001), para determinar a solução geral de uma equação desse
tipo, deve-se inicialmente considerá-la homogênea, ou seja, considera-se , e, assim, obtém-se a solução
homogênea. Depois de obtida a solução homogênea, deve-se determinar uma solução
particular da EDO original, a partir da função
. A solução geral da
Equação (2.1) é então uma combinação linear das soluções homogênea e
particular.
Supõe-se
uma solução da equação homogênea na forma exponencial, ,
substituindo a função e suas derivadas, isto é,
e
, na equação homogênea correspondente,
obtém-se uma equação característica de segundo grau
(2.2)
cujas soluções determinam o formato da solução homogênea procurada (BOYCE, 2015).
Os
três casos possíveis de soluções da Equação (2.2) são: duas soluções reais e
distintas; duas soluções reais e iguais e duas soluções complexas conjugadas.
Para o caso em que há duas soluções reais e distintas da equação
característica, e
, a solução homogênea
possui a forma
. Quando as raízes da
equação característica são reais e iguais, a solução homogênea correspondente é
da forma
. Para o caso em que as
soluções da equação característica são complexas conjugadas,
e
, a solução homogênea da
equação diferencial, obtida ao aplicar a Fórmula de Euler (ZILL, 2001), é dada
por
.
Considerando
a equação diferencial não homogênea (), pode-se determinar uma
solução particular através de dois métodos: dos coeficientes indeterminados e
de variação de parâmetros. Para o desenvolvimento deste trabalho, será aplicado
o método dos coeficientes indeterminados. Segundo este método, para determinar
a solução particular da Equação (2.1), supõe-se uma expressão com a mesma forma
da função
, com coeficientes não especificados.
Deve-se então substituir a expressão hipotética na Equação (2.1), a fim de
determinar seus coeficientes de modo que a equação seja satisfeita. Essa
expressão, com os coeficientes determinados, será uma solução particular para a
equação diferencial. Este método, no entanto, apenas é aplicável para função
que seja do tipo
constante, polinomial, exponencial, seno e cosseno e/ou somas e produtos
destas, além disso, a equação diferencial deve ter, obrigatoriamente,
coeficientes constantes (BOYCE, 2015).
Por fim, a solução geral da Equação (2.1) é dada pela combinação linear das soluções homogênea e particular determinadas.
2.2 Circuitos LRC
Circuitos elétricos são fundamentais na área da engenharia. O circuito LRC com fonte é utilizado principalmente pela característica oscilatória de carga, corrente e tensão que variam no capacitor e indutor. O capacitor, que armazena energia em um campo elétrico e o indutor, que armazena energia em um campo magnético, são os principais componentes, pois de acordo com cada valor desses dispositivos, pode-se obter diferentes valores de frequência para a oscilação. Caso não seja aplicada uma fonte de tensão, o circuito é dito amortecido, pois a energia que oscila entre o capacitor e indutor é dissipada no resistor. Ao tratar de circuitos, é imprescindível que se fale sobre como os elementos se comportam, pois todo circuito elétrico de baixa potência terá pelo menos um dos elementos (resistência, capacitor ou indutor) (NILSSON, 2015). O uso dos circuitos é bastante amplo, desde rádios e aparelhos de televisão até smartphones, computadores e outros. É importante salientar que os circuitos elétricos estudados através das equações diferenciais têm estruturas de circuito simples, e não necessitam de outros métodos mais avançados de cálculo.
3 Procedimentos metodológicos
Nessa seção, será apresentado um circuito LRC sob uma fonte de tensão. Além disso, o comportamento de cada componente desse circuito será analisado e a equação diferencial ordinária que o modela será obtida. Por fim a solução geral do problema, que consiste em uma combinação linear da solução homogênea e da solução particular, será obtida.
3.1 Obtenção da equação diferencial ordinária – EDO
O circuito LRC de malha simples, conforme apresentado na Figura 1, é formado por uma fonte eletromotriz E(t), um resistor R, um indutor L, um capacitor C e um interruptor.
Figura 1 – Circuito LRC
Fonte: Autores
Considera-se
que o capacitor e o indutor estejam descarregados, ou seja, não há energia em
nenhum desses dispositivos para Como o interruptor está
fechado para
, não há corrente elétrica
e nem tensão nos componentes; assim, a seguinte análise será baseada apenas
para
. Logo, as condições
iniciais do problema são que a corrente inicial seja nula, ou seja
, e que a carga elétrica
também seja nula,
. A fim de encontrar um
modelo para a EDO, serão predefinidas algumas considerações quanto ao
comportamento de cada componente do circuito.
Segundo
a Lei de Ohm tem-se que a tensão no resistor é dada por sendo R o valor da
resistência e i a corrente elétrica que atravessa o resistor. A tensão
no indutor é dada por
onde L é o valor da
indutância. Esta última expressão mostra que a corrente não pode variar abruptamente
(a tensão tenderia a infinito; o que de fato não ocorre). A tensão no capacitor
é dada por
, onde C é o valor
da capacitância. Pelo princípio da conservação de energia, a soma das tensões
em cada elemento do circuito deve ser igual à tensão da fonte, conforme a
Equação (3.1)
(3.1)
Afim
de obter a EDO de segunda ordem que modela o problema, será utilizado o fato
que a corrente elétrica é a taxa de variação da carga do elétrica com relação
ao tempo, ou seja, . Assim, a Equação (3.1)
pode ser expressa como
(3.2)
Dessa forma, modelamos o problema através da Equação (3.2) que é uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes.
3.2 Solução da EDO
Para
resolver a Equação (3.2), deve-se obter a solução homogênea, considerando-se , e a solução particular,
através do método dos coeficientes indeterminados ou através do método de
variação de parâmetros.
3.2.1 Solução homogênea
A Equação (3.2) associamos a seguinte equação homogênea
(3.3)
Supondo
uma solução da forma , suas derivadas de
primeira e de segunda ordem são dadas por
e
, respectivamente, onde s
é uma constante. Ao substituir essa solução na Equação (3.3), obtém-se
e a equação característica
de segundo grau é dada por
(3.4)
cujas
soluções são e
.
Para
o caso em que , obtém-se duas soluções
reais e distintas
e
da Equação (3.4), e assim
a solução homogênea é dada por
(3.5)
onde
e
são constantes
arbitrárias que podem ser determinadas a partir das condições iniciais
atribuídas.
Para
o caso em que , obtém-se que as duas
soluções da Equação (3.4) são reais e iguais
, assim a solução
homogênea obtida é dada por
(3.6)
No
caso em que , as soluções da Equação
(3.4) obtidas são complexas conjugadas, da forma
e
, sendo
a parte real e
a parte imaginária, e a
solução homogênea é do tipo
.
(3.7)
Nos
dispositivos eletrônicos, como o circuito da Figura 1, é muito raro que o valor
de resistência seja menor que o da indutância e da capacitância (NILSSON,
2015), assim considera-se apenas o caso em que , ou seja, o caso em que
há duas soluções reais e distintas da equação característica. Nesse caso, a solução
da equação homogênea é dada pela Equação (3.5).
3.2.2 Solução particular
Neste trabalho, a solução particular
da Equação (3.2) é determinada pelo método dos coeficientes indeterminados,
devido a
sua
maior facilidade de resolução. Considerando a
função E(t) da Equação (3.2) do tipo seno, tem-se uma força eletromotriz
oscilante no circuito em função do tempo e, dessa
forma, a solução particular é obtida na forma de um
conjunto de funções seno e cosseno com mesmo argumento de E(t) e com os coeficientes a serem determinados.
Para um circuito LRC real, a força eletromotriz geralmente possui forma de senos ou cossenos, com uma determinada amplitude de força e uma frequência de oscilação. Assim sendo, a solução particular da Equação (3.2) é dada por (3.8)
(3.8)
cujos coeficientes a serem determinados A e B são dados em função da amplitude de força e da frequência de oscilação e sendo w a frequência.
3.2.3 Solução geral
Após calculadas as soluções homogênea e particular, a solução geral é expressa como a soma de ambas soluções, conforme a Equação (3.9)
(3.9)
Com a solução geral representada na Equação (3.9) tem-se o valor da carga elétrica em função do tempo, e a unidade de medida é Coulomb, assim pode-se obter o valor da corrente elétrica derivando a carga em função do tempo, obtendo i(t) dada em Coulomb por segundo ou Ampére. Ambos os resultados, carga e corrente elétrica, oscilam de forma semelhante no circuito LRC. Por questões práticas e limitação dos aparelhos de medição, o resultado da corrente elétrica é mais utilizado, sendo esse essencial quanto à análise de circuitos.
Após a determinação das soluções, em forma da carga elétrica e da corrente elétrica, são plotados os gráficos das funções com auxílio do software Maple 18, a fim de obter uma representação mais visual dessas.
3.3 Experimento Prático
A fim de complementar a compreensão do
assunto, foi montado um circuito LRC em série no Laboratório da Engenharia
Elétrica (UFSM campus Cachoeira do Sul). Para construção do circuito foi
utilizado um resistor de 1kΩ,
um indutor de 1000μH e um capacitor de 10μF. Para gerar as funções de tensão
(que no caso é o E(t)) foi utilizado um gerador de função arbitrária, e
para mostrar graficamente como se comporta a tensão e a corrente elétrica nos
dispositivos foi utilizado um osciloscópio. A função da onda será definida por
4 Resultados
Aplicando
os procedimentos metodológicos anteriormente descritos para determinar a
solução de uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes
constantes, considerou-se os parâmetros adotados no experimento prático cujos
valores de R, L e C são, respectivamente, 1kΩ, 1000μH e 10μF, a forma da fonte de tensão como , e as condições iniciais de
e
(em que
é a corrente que passa
pelo circuito).
Para
a solução da equação homogênea, supôs-se a solução da forma exponencial e
obteve-se uma equação característica (Equação (3.4)) cujas raízes são reais e
distintas, com e
. Dessa forma, a solução
homogênea é da forma da Equação (3.5), dada segundo e Equação (4.1)
(4.1)
A
solução particular da Equação (3.2) foi obtida aplicando-se o método dos
coeficientes indeterminados. Para tanto, supôs-se uma solução da forma , semelhante à Equação
(3.8), sendo
. Após a determinação dos
coeficientes, obteve-se a solução particular
(4.2)
sendo
e
.
Por fim, a solução geral é a soma das
soluções homogênea e particular. As constantes e
presentes na Equação
(4.1) foram determinadas aplicando as condições iniciais atribuídas sobre a solução
geral. Obteve-se que
e
. Logo, a solução geral é
dada por
(4.3)
A solução dada na equação (4.3) representa o comportamento da carga que passa pelo circuito em função do tempo. Esta solução também pode ser expressa em forma de corrente elétrica, que é a derivada da carga em relação ao tempo. Assim,
(4.4)
Com auxílio do software Maple 18, as soluções obtidas foram plotadas em gráficos em função do tempo. A Figura 2 mostra os gráficos da Equação (4.1) – solução homogênea (em linha tracejada longa e cor lilás), – da Equação (4.2) – solução particular (em linha tracejada simples e cor azul) – e da Equação (4.3) – solução geral (em linha contínua e cor verde).
Figura 2 – Gráfico das soluções na forma de carga elétrica da equação diferencial
Fonte: Autores
O gráfico da Figura 2 representa uma comparação entre os resultados de cada solução (homogênea, particular e geral). Fisicamente esses resultados não são obtidos, restringindo os mesmos apenas para representação em software. A Figura 3 apresenta o gráfico da solução na forma de corrente elétrica (Equação (4.4)).
Figura 3 – Gráfico da solução na forma de corrente elétrica da equação diferencial
Fonte: Autores
O gráfico da Figura 3 representa a corrente que oscila no sistema, onde sua amplitude (valor máximo) é dada por 2 ampères. No experimento prático realizado no laboratório foi verificado que, de fato, a corrente elétrica assume um valor de aproximadamente 2 ampères. A Figura 4 mostra o sinal na forma de tensão elétrica, que, com a adição de um resistor (Lei de Ohm), é considerado como um sinal de corrente elétrica.
Figura 4 – Comportamento da corrente elétrica medida em um osciloscópio
Fonte: Autores
É importante salientar que o comprimento de onda do gráfico da Figura 3 parece menor que o comprimento de onda mostrado pelo osciloscópio da Figura 4, porém são equivalentes. Na Figura 4, a fim de explicitar o formato ondulatório, o comprimento de onda do gráfico da corrente elétrica foi ampliado.
A partir de uma análise teórica, onde foram introduzidos conceitos de equações diferenciais aos circuitos elétricos, agregando possíveis valores de componentes eletrônicos e simulando gráficos de resultados, foi possível implementar o problema no laboratório e, de fato, observar que os resultados teóricos estão de acordo com os resultados práticos. Assim, esses resultados trazem um estímulo a mais para o estudo do cálculo diferencial que é uma ferramenta importante para a análise de circuitos elétricos.
5 Conclusão
O presente trabalho teve como objetivo encontrar a função carga e corrente elétrica, que oscilam em um circuito LRC em série, utilizando-se equações diferenciais. A partir de uma modelagem matemática, seguindo leis físicas que envolvem os dispositivos do circuito, foi possível obter uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Resolvendo a equação diferencial, obteve-se uma solução homogênea e uma solução particular, as quais resultam em uma solução geral para o sistema.
Na primeira solução geral obteve-se uma função para a carga elétrica que oscila no circuito em função do tempo, e, derivando essa função determinou-se a função que representa a corrente elétrica oscilante no sistema. Em um primeiro momento, as soluções foram resolvidas teoricamente, e, posteriormente, implementadas no Laboratório da Engenharia Elétrica. Os resultados, práticos e teóricos, foram satisfeitos para a solução da corrente elétrica, enquanto que a carga elétrica pode ser verificada apenas por simulação em software.
Com o desenvolvimento do trabalho constatou-se a importância das equações diferenciais aplicadas a circuitos elétricos. Verifica-se que na área da engenharia elétrica, muitos problemas de circuitos oscilatórios podem ser resolvidos com equações diferenciais, auxiliando quanto a análise de um problema e precisão dos cálculos. Assim, os resultados obtidos são de grande valor, servindo de parâmetro para estudos direcionados à área da engenharia, tal como pesquisas e análises técnicas.
Referências
BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. Tradução Valéria de Magalhães Iorio. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert. Fundamentos de Física: volume 3. Tradução Ronaldo Sérgio de Biasi. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
NILSSON, James W. Circuitos Elétricos: volume 1. Tradução Sonia Midori Yamamoto. 10. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
ZILL, Dennis G.; CULLEN, Michael R. Equações Diferenciais: volume 1. Tradução Antonio Zumpano. 3. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.