É muito comum os alunos dos cursos de licenciatura em Matemática questionarem as ementas das disciplinas de Álgebra, na maioria das vezes, por não perceberem sua importância como futuros professores. Muitos, ao cursarem a disciplina, colocam em dúvida sua relevância e utilidade para seu trabalho como futuros professores da educação básica (Mondini; Bicudo, 2010).

Mediante esta perspectiva, a disciplina de Álgebra permanece descontextualizada no currículo da licenciatura. No entanto, “como qualquer outra disciplina, a Álgebra deve ser apresentada de maneira a fazer sentido ao aluno o porquê que ela faz parte de seu currículo” (Souza, 2008).

Na maioria dos cursos de licenciatura em Matemática a disciplina de Álgebra tem como bibliografia os livros de Domingues e Iezzi (2018), Hefez (2016), Vieira (2015), Gonçalves (2017), dentre outros.

Convém ressaltar que, Domingues e Iezzi (2018) aprimoraram a edição anterior, acrescentando exemplos introdutórios aos assuntos de cada capítulo como forma de estimular as atividades, além de exercícios de ordem mais prática, sendo aplicáveis na educação básica. Os próprios autores a classificam como uma obra de teor introdutório, cujo capítulo inicial, intitulado “Noções sobre Conjuntos e Demonstrações”, se faz importante no atual cenário das licenciaturas em Matemática, área para a qual a obra se destina.

No livro Álgebra Abstrata para a Licenciatura, Vieira (٢٠١٥) apresenta um material didático totalmente direcionado ao aluno de Licenciatura em Matemática. Nos capítulos que permeiam a obra, conceitos, definições e proposições são introduzidos considerando o cenário da sala de aula da educação básica, permeados com explanações e muitos exemplos, apresentados em ordem crescente de dificuldade.

A obra de Hefez (2016) retrata um texto direcionado a um primeiro contato com a Álgebra Abstrata para graduação em Matemática. O conteúdo é apresentado de forma elementar e ilustrado com vários exemplos.

No que diz respeito a um curso de licenciatura, pressupomos que essa abordagem está de acordo com o que julgamos adequado à disciplina, levando em consideração a formação inicial de professores. Os conteúdos comumente elencados na ementa de Álgebra Abstrata: Conjuntos, Aritmética, Anéis e Corpos são importantes para educação básica, devendo o professor que a rege abordá-la de forma a aproximar ainda mais o estudante da disciplina com a sua realidade escolar, favorecendo a conexão entre o que se estuda no ensino superior e o que se leciona nos ensinos fundamental e médio.

Com vistas a atender tais requisitos, no decorrer deste artigo, exploraremos a definição de anel, bem como as propriedades decorrentes, para resolver equações. Por meio de exemplos, direcionados ao curso de licenciatura em Matemática, ressaltamos uma possível conexão entre este nível de ensino e a educação básica.

Desta forma, evidenciaremos ao licenciando em Matemática a aplicabilidade de algumas propriedades decorrentes da definição de anel para solucionar problemas oriundos de livros utilizados na educação básica. Além do mais, pensamos que o ensino de Álgebra nas escolas de educação básica deve ser uma das preocupações dos cursos de licenciatura em Matemática na busca de uma melhor formação de professores.

Selecionamos os exemplos na perspectiva de fornecer uma base teórica mais adequada ao futuro professor de Matemática, permitindo que este baseie suas aulas nas que lhes foram ministradas no nível superior. Entendemos que, a partir desta postura contribuiremos com a conexão entre a Álgebra do ensino superior e da educação básica de forma mais efetiva.

Sendo assim, o objetivo deste artigo é apresentar exemplos sobre a estrutura algébrica de anel e a resolução de equações que possam ser desenvolvidas na disciplina de Álgebra, proporcionando subsídios para a compreensão de conceitos tratados na educação básica.

A Álgebra é a parte da Matemática elementar que generaliza a Aritmética, introduzindo variáveis que representam os números e simplificando e resolvendo, por meio de fórmulas, problemas nos quais as grandezas são representadas por símbolos (Oxford, 2024). Sua abordagem começa nos anos iniciais do ensino fundamental, quando se trata de regularidades de sequências, até o ensino superior em que são abordadas as estruturas algébricas que fundamentam os aspectos lógico-estruturais dos conteúdos e servem de base para pesquisas mais avançadas na pós-graduação.

Na educação básica, o ensino de Álgebra tem como finalidade o desenvolvimento do pensamento algébrico, que é “essencial para utilizar modelos matemáticos na compreensão, representação e análise de relações quantitativas de grandezas e, também, de situações e estruturas Matemáticas, fazendo uso de letras e outros símbolos” (Brasil, 2018, p. 270).

Uma das habilidades a serem desenvolvidas no ensino fundamental é de “reconhecer que a relação de igualdade Matemática não se altera ao adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir seus dois membros por um mesmo número e utilizar essa noção para determinar valores desconhecidos na resolução de problemas” (Brasil, 2018, p. 303). Essa habilidade diz respeito às operações e propriedades que são válidas no conjunto dos números inteiros, racionais ou reais. Essas propriedades são estudadas com rigor em cursos de Matemática, tanto licenciatura quanto bacharelado, quando se definem as estruturas algébricas de anéis e corpos.

Por meio da Álgebra deve ser enfatizado o “desenvolvimento de uma linguagem, o estabelecimento de generalizações, a análise da interdependência de grandezas e a resolução de problemas por meio de equações ou inequações” (Brasil, 2018, p. 270).

No entanto, o que se observa, é o uso de alguns macetes na resolução de equações. Desta forma, a utilização da linguagem algébrica muitas vezes não é desenvolvida devidamente nas salas de aula de Matemática.

Um exemplo disso é a resolução de equações da forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0. Se o aluno aprende que, para isolar a variável 𝑥 , deve “passar para o outro lado com sinal negativo” então ele pode ser conduzido erroneamente à situação de que 2𝑥 = 1 equivale a 𝑥 = .

Ou ainda, perante equações matriciais da forma 𝐴𝑋 = 𝘉, tal pensamento induz ao aluno responder que a matriz 𝐴 deve “passar para o outro lado” dividindo a matriz 𝘉, operação que não está definida entre matrizes.

Devemos nos atentar aos equívocos que isso pode ocasionar. Consideremos, por exemplo, a resolução de equações da forma 𝑥2 = 2 𝑥 . Se o estudante, simplesmente, “cortar” a variável 𝑥 nos dois membros, concluirá de forma errônea que a solução é somente 𝑥 = 2. Na verdade, não podemos dividir ambos os membros da equação por 𝑥, a menos que tenhamos certeza de que 𝑥 ≠ 0. Quando se resolve a mesma de maneira adequada, concluímos que , implica que ou , uma vez que a regra do fator nulo, propriedade dos números reais, deve ser usada. Cabe destacar que o conjunto dos números reais, denotado por ℝ, é um exemplo de estrutura algébrica denominada corpo, em que são válidas propriedades, as quais devem ser usadas na resolução correta de equações.

Diante deste contexto, ressaltamos a importância de apresentar atividades, na qual as definições de anel e corpo, bem como suas propriedades, sejam aplicadas para resolver equações e problemas, alguns deles oriundos de livros da educação básica, no âmbito de uma linguagem adequada ao nível de ensino a que se propõe.

De acordo com Ribeiro e Curi (2021):

[...] as definições devem ser compreensíveis para o nível de ensino no qual elas são apresentadas. Por exemplo falar em “corpo” para alunos de Álgebra de um curso de licenciatura em Matemática pode ser perfeitamente entendido como estrutura definida em um conjunto, munida de operações e propriedades. No entanto, ao tratar do conjunto dos reais na educação básica, a palavra “corpo” não pode ser introduzida sem cuidados, pois tem outra acepção na linguagem comum. [...] Parece-nos que situações de sala de aula que discutam os diferentes significados de conceitos matemáticos - como é o caso do perfil conceitual da equação - podem contribuir para se elucidar os sentidos dados pelos alunos a tais conceitos (Ribeiro; Curi, 2021, p. 104).

Observamos que algumas reflexões acerca do ensino de Álgebra se fazem pertinentes. Por quais motivos alguns macetes, como os descritos nos parágrafos precedentes, são enfatizados perante exemplos que poderiam justificar algumas propriedades de forma mais categórica? A Álgebra ensinada nas escolas não se distingue muito da estudada na universidade?

Alguns trabalhos correlatos que abordam este distanciamento foram elaborados. Por exemplo, citamos Pires (2012, p. 78), no qual um “grupo de futuros professores de Matemática da cidade de São Carlos que já realizaram estágios curriculares nas escolas de educação básica, e tem como foco central de investigação, as falas destes sobre o ensino da linguagem algébrica na educação básica.” Por meio dos questionários aplicados a licenciandos do curso, foram identificadas dificuldades com a aprendizagem de Álgebra desde a educação básica, bem como uma preocupação com o ensino quando comparam a Álgebra escolar e a acadêmica, indicando a dissociação entre elas.

Ribeiro (2015, p. 1) discute “qual a visão de Álgebra que professores formadores e professores da educação básica declaram, quando são convidados a falar a respeito de tal temática”. Como resultado, o autor destaca divergências na visão dos professores universitários e da educação básica.

Citamos também Bussmann e Savioli (2008) que investigam a existência de uma conexão entre os conteúdos de Álgebra vistos em um curso de licenciatura em Matemática e a Álgebra abordada no ensino fundamental e médio, destacando “que a questão da ausência de articulação é forte” (p. 2).

No entanto, não é muito difícil perceber que a Álgebra do ensino superior tem muitas conexões com a do ensino fundamental e médio. No caso das equações fracionárias, por exemplo, estudos apontam a dificuldade representada pelo cancelamento incorreto de termos, especialmente pelo mau uso da propriedade distributiva. Segundo Ribeiro e Curi (2021, p. 104):

Se o professor estudar essas dificuldades juntamente com a apresentação do “corpo dos reais”, em disciplinas de Álgebra ou Análise Matemática, poderá entender melhor o próprio conteúdo e visualizar as dificuldades que terá de superar no ensino de quaisquer elementos que possam ser relacionados a essa estrutura.

Ribeiro (2015) também ressalta o distanciamento da Álgebra do ensino superior daquela abordada na educação básica, a partir das visões diferentes que os professores de ambos os níveis de ensino possuem acerca da disciplina; alguns fazendo distinção entre como ensinar num curso de licenciatura e em demais cursos de graduação, e como ensiná-la na educação básica.

Somos instigados a acreditar que o processo de formação do professor se baseia na divergência, e não numa identidade, entre educação Matemática escolar e ensino de Matemática acadêmica. Ressaltamos que uma tentativa de unificação entre ambas se iniciou durante o Movimento da Matemática Moderna, por meio da teoria dos conjuntos. Tal processo, no entanto, causou transtornos. Conforme destaca Pires (2012), a Álgebra presente na Matemática escolar está baseada na Álgebra simbólica, embora quando tal linguagem passa a ter um teor muito formal, ela constitui um entrave para o aprendizado a nível básico.

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) dos anos finais do ensino fundamental de Matemática (Brasil, 1998), estudar Álgebra se torna importante ao aluno na medida em que favorece o desenvolvimento da capacidade de abstração e generalização, sendo, além disso, uma poderosa ferramenta no que diz respeito à resolução de problemas, devendo ser esta última uma abordagem preferencial para o ensino de Matemática. O mesmo documento ainda sugere que os alunos estudem padrões, presentes em sucessões numéricas e representações geométricas, por exemplo, a fim de construir a ideia da Álgebra como uma linguagem que expresse suas generalidades.

A partir de um problema, o aluno se aproxima de um conceito, para posteriormente, apropriar-se deste de maneira mais formal. Tal metodologia parece vir na direção oposta à prática de outrora, na qual após a exposição do conceito a ser estudado, seguir-se-ia a sua aplicação em situações-problemas.

A fim de enriquecer o texto sobre o conceito de anel e a resolução de equações, além das principais referências como Domingues e Iezzi (2018), Hefez (2016) e Vieira (2015), faremos conexões com livros didáticos da educação básica, fornecendo exemplos e abordagens dos conceitos em questão presentes nessas obras.

Nesse sentido, priorizamos livros aprovados pelo Programa Nacional do Livro e do Material Didático (PNLD) do Ministério da Educação. Entre os livros utilizados, destacam-se Silveira (2022), Silveira e Marques (2013, 2017) e Dante (2002). Por meio desta abordagem que integra os livros didáticos, buscamos proporcionar uma familiaridade com a teoria de anéis em um contexto mais acessível, ampliando assim a compreensão do conteúdo.

As equações surgem naturalmente em problemas em que se deseja encontrar a solução – um número que não é conhecido. A resolução de uma equação em um determinado conjunto numérico envolve o uso de propriedades que são válidas naquele conjunto.

Para ilustrar, apresentamos na figura 6, um exemplo de uma equação em ℤ.

Figura 6 – Exemplo de equação em ℤ

Fonte: Giovani e Bonjorno (1992, p. 203)

Inicialmente, por meio da propriedade distributiva VI) da multiplicação com relação à adição da Definição 1, temos que

Conforme a propriedade VIII) da Definição 4, segue que

Suponhamos que 𝑥 ― 1 = 0. Adicionando o oposto de ―1 a ambos os membros, obtemos

Como 0 ℤ é elemento neutro aditivo (propriedade III)/Definição 1), então 𝑥 + 0 = 1 e, portanto, 𝑥 = 1.

Por outro lado, suponhamos que 𝑥² ― 1 = 0. Observamos que

E, portanto, segue da Definição 4, propriedade VIII), que 𝑥 ― 1 = 0 ou 𝑥 + 1 = 0. De maneira similar, concluímos que 𝑥 = 1 ou 𝑥 ― 1 .

Logo {―1, 1} é o conjunto solução da equação 𝑥3 ― 𝑥2 ― 𝑥 + 1 = 0 em ℤ.

Observamos que, na resolução da equação 𝑥3 ― 𝑥2 ― 𝑥 + 1 = 0 foram aplicadas propriedades do conjunto dos números inteiros.

Vejamos, agora, a solução de uma equação com base em uma situação problema apresentada para o 8º ano do ensino fundamental (figura 7).

Figura 7 – Solução de um problema envolvendo equação

Fonte: Dante (2002, p. 38-39)

Na resolução da situação problema, inicialmente foi estabelecida a equação algébrica que a representa. Após, observamos o uso correto das operações algébricas ao subtrair 3𝑥 e depois 30 e ao multiplicar por ― 1 ambos os membros da equação, bem como ao utilizar as propriedades de elemento oposto e elemento neutro.

No entanto, encontramos exemplos em que o termo “passar para o outro lado” ainda é utilizado, como o apresentado na figura 8.

Figura 8 – Solução de um problema envolvendo equação algébrica

Fonte: Silveira e Marques (2017, p. 109)

A experiência didática dos autores permite afirmar que, alunos oriundos da educação básica, quando já no nível superior, relatam dificuldades e angústias relacionadas ao ensino e aprendizagem de conteúdos de Matemática no decorrer de sua formação inicial. Atalhos similares ao exemplificado na figura 8, são comumente abordados e não auxiliam na compreensão efetiva do conteúdo, tornando-se um fator de dificuldade no decorrer dos estudos em outras disciplinas. Em cursos avançados, quando generalizamos as operações para além das usuais, essas simplificações se tornam um obstáculo ao entendimento e aplicação das propriedades envolvidas. Sendo assim, é importante, que ao tratar dos conjuntos numéricos, seja enfatizado o uso correto de suas propriedades.

Para finalizar, vamos considerar o enunciado de uma equação com operações não usuais (figura 9).

Figura 9 – Equação

Fonte: Autoras (2024)

Inicialmente, conforme o exemplo ilustrado na figura 5, observamos que o elemento oposto de é dado por . Assim, adicionando em ambos os membros da equação , obtemos

Uma vez que 3 é elemento neutro da operação ∗. Para obtermos o valor de 𝑥, precisamos calcular o inverso de 10. Observamos que 0 é a unidade deste anel. Logo, 𝑎 é inverso de 10 se, e somente se,

E, portanto,. Assim, multiplicando ambos os membros da equação por , obtemos

Poderíamos nos perguntar se qualquer equação nesse anel tem solução. A resposta é sim, pois para todo 𝑎 , tal que, implica que .

De fato,

Ou seja, todo elemento não nulo no anel possui inverso multiplicativo e, portanto, (ℚ ∗, 𝑇) é corpo.

Destacamos que não é possível resolver o exercício ilustrado na figura 9 mediante aplicação de macetes, uma vez que o elemento neutro e o oposto não são usuais.

Exemplos como estes nos permitem compreender melhor o significado de uma equação e o papel que as variáveis desempenham na mesma. No exemplo ilustrado na figura 9, o aluno poderá ser instigado a pensar nos elementos inverso e oposto necessários para a resolução da equação, na medida em que, sob operações usuais em ℚ, tal procedimento seria realizado de modo direto, sem necessidade de reflexões mais aprofundadas. Neste exemplo, expressões usuais como passar para o outro lado com sinal contrário não conduzem a resolução adequada do mesmo.

Nossa proposta, nesse artigo, consistiu em conectar as propriedades dos conjuntos numéricos ℤ, ℚ e ℝ e a resolução de equações, por meio de exemplos de conteúdos, presente na grade curricular da educação básica, a alguns tópicos estudados em disciplinas de Álgebra na graduação.

Observamos que, nas pesquisas de Souza (2008), Mondini e Bicudo (2010), Ribeiro (2015) e Ribeiro e Curi (2021), são apontadas as dificuldades apresentadas pelos graduandos de licenciatura em disciplinas de Álgebra, principalmente no que se refere a sua aplicabilidade na educação básica.

Neste cenário, apresentamos neste artigo uma proposta concreta relacionando tópicos sobre anéis e grupos aos conteúdos abordados no ensino fundamental e médio. A partir dos exemplos elaborados é possível que o aluno perceba que as propriedades dos conjuntos numéricos tratadas no ensino fundamental estão relacionadas com as estruturas algébricas definidas em cursos de Álgebra na graduação e que, embora o conceito de anel não esteja diretamente associado a educação básica, pode envolver tópicos pertinentes a esse nível.

Propomos uma abordagem para as disciplinas de Álgebra de cursos de licenciatura em Matemática que relacionem, sempre que possível, os tópicos arrolados em sua ementa aos conteúdos que os futuros professores de Matemática lecionarão. Com isso, pensamos ser possível contribuir com a diminuição dos índices de evasão e/ou reprovação da disciplina, melhorando a aceitação da mesma pelos graduandos e ajudando no ensino dos tópicos relacionados com a educação básica.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.

BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular – BNCC. Brasília, 2018.