Universidade Federal de Santa Maria

Ci. e Nat., Santa Maria v.42, Special Edition: Micrometeorologia, e11, 2020

DOI:10.5902/2179460X45353

ISSN 2179-460X

Received: 02/06/20  Accepted: 02/06/20  Published: 28/08/20

 

by-nc-sa 


Special Edition

 

Modelo de pluma segmento com velocidades estocásticas para dispersão atmosférica em condições de vento fraco

 

Plume segment model with stochastic speeds for atmospheric dispersion in low wind conditions

 

Camila Fávero I

Glênio Aguiar Gonçalves II

Daniela Buske III

Régis Sperotto de Quadros IV

Viliam Cardoso da Silveira V

 

I Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, Brasil. E-mail: camilafavero@msn.com.

II Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, Brasil. E-mail: gleniogoncalves@yahoo.com.br.

III Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, Brasil. E-mail: danielabuske@gmail.com.

IV Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, Brasil. E-mail: quadros99@gmail.com.

V Universidade Federal de Pelotas, Pelotas, Brasil. E-mail: viliamcardoso@gmail.com.

 

 

RESUMO

Neste trabalho é apresentada uma solução analítica para a equação tridimensional transiente de advecção-difusão. Esta solução, obtida a partir da combinação dos métodos de separação de variáveis e GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique) é utilizada para simular a dispersão de poluentes na atmosfera. A nova solução apresenta a vantagem de não necessitar a inversão numérica realizada na variável temporal nos trabalhos que utilizam somente a técnica GILTT. O modelo foi testado em condições de vento fraco, com difusão nas direções transversal e longitudinal e velocidades estocásticas. Foram realizadas simulações para o experimento de INEL (Idaho National Engineering Laboratory). O caráter analitíco do modelo o torna simples, o que representa vantagens no seu desenvolvimento e implementação, assim como no custo computacional para a execução.

Palavras-chave: Vento fraco; Estocástico; Dispersão; Solução analítica.

 

ABSTRACT

This work presents an analytical solution for the transient three-dimensional advection-diffusion equation. This solution, obtained from a combination of the variable separation method and GILTT (Generalized Integral Laplace Transform Technique) is used to simulate the pollutant dispersion in the atmosphere. The new solution has the advantage of not requiring a numerical inversion performed in the temporal variable in works using only GILTT technique. The model was tested in low wind condition, with diffusion in transverse and longitudinal directions and stochastic speeds. Simulations were performed for the INEL experiment. The analytical character of the model makes it simple, which represents advantages in its development and implementation, as well as in the computational cost for execution.

Keywords: Low wind; Stochastic; Dispersion; Analytical solution.

 

 

1 INTRODUÇÃO

A intensificação das emissões de poluentes devido a fatores como o aumento da geração de energia elétrica e o aumento de emissões veiculares e industriais comprometem a qualidade do ar, causando consequências diretas na saúde das populações expostas e no equlíbrio dos ecossistemas.

O monitoramento da dispersão de poluentes é essencial para o gerenciamento ambiental,  especialmente com enfâse no controle da qualidade do ar. Para tanto, modelos matemáticos são uma importante ferramenta, uma vez que, dados experimentais envolvem altos custos e dificuldades operacionais para serem obtidos.

Os modelos matemáticos que simulam a dispersão de poluentes na atmosfera podem ser determinísticos ou estocásticos. Os modelos determinísticos não incluem nenhuma variável aleatória, sendo assim, possuem uma solução exata, em geral obtida analiticamente. Entretanto, a dispersão de poluentes na Camada Limite Planetária é um processo estocástico que varia de forma imprevisível durante um intervalo de tempo (FURTADO; BODMANN; VILHENA, 2016). Como são inseridas variáveis aleatórias, os resultados de cada evento são também aleatórios. Esse tipo de modelo é considerado uma melhor representação da realidade por incluir variáveis que descrevem as flutuações na velocidade do vento, presentes no fenômeno físico.

A equação de advecção-difusão, obtida a partir da parametrização dos fluxos turbulentos na equação da continuidade, é considerada determinística, pois seus termos contém toda a informação da complexidade da turbulência que é considerada altamente irregular e não pode ser descrita com precisão por um modelo determinístico (LOECK, 2014). A solução dessa equação é, geralmente, a base para a elaboração de modelos Eulerianos, que são aqueles referênciados a um sistema cartesiano fixo no espaço. A partir dela e sob certas condições, pode-se obter expressões para o campo de concentração que sejam funções da emissão de poluentes, de variáveis meteorológicas e de parâmetros de dispersão da pluma (PASQUILL; SMITH, 1983).

Dentro desse contexto, o objetivo desse trabalho foi elaborar um modelo de dispersão através de uma solução analítica para a equação de advecção-difusão transiente tridimensional utilizando a técnica de separação de variáveis juntamente com a técnica GILTT. O modelo desenvolvido apresenta parâmetros difusivos nas direções x, y e z, que são importantes para a investigação da dispersão de poluentes em condições de vento fraco. São inseridas flutuações nas velocidades longitudinal e transversal do vento, tornando as parametrizações estocásticas. 

 

 

2 Metodologia

Para elaborar o modelo apresentado nesse estudo foi utilizada a equação da advecção-difusão. Esta equação é baseada na lei da conservação da massa e é fortemente utilizada na modelagem do transporte e dispersão de poluentes atmosféricos. A equação transiente tridimensional, advectiva nas direções horizontais e difusiva na direção vertical, que descreve a concentração C de um poluente na atmosfera, emitido por uma fonte Q, em um tempo inicial t=0, é escrita como:

(1)

onde C(t,x,y,z) é a função concentração (kg/m3), Kz (m2/s) é o coeficiente de difusão turbulenta e u e v são as velocidades (m/s) nas direções longitudinal e transversal, respectivamente.

 A equação (1), está sujeita as seguintes condições de contorno, inicial e de fonte, nessa ordem:

(2)

(3)

(4)

nas quais Hs(m) é a altura, Q (g/m2s) é a intensidade da fonte e F(y) é a concentração média do poluente sobre o eixo y.

Para obter uma solução para a equação da advecção-difusão (1) sujeita as condições acima apresentadas utilizou-se a técnica de separação de variáveis. Inicialmente, u e v foram considerados constantes e Kz = Kz(z). Essas simplificações permitem a utilização de tal técnica que, após manipulações algébricas, resulta em:

(5)

(6)

(7)

(8)

As equações (5), (6) e (7) são resolvidas pelos métodos usualmente utilizados, enquanto a equação (8) é resolvida pelo método GILTT (GONÇALVES et al.,2018). Portanto, a concentração média é representada por:

(9)

onde a função ε(x,z) vem da solução do problema (8) pelo método GILTT e ψ(t,y) e φ(t,x) são dadas por:

(10)

(11)

Para determinar os coeficientes A(κ) e B(λ) é necessário utilizar a condição inicial e a condição de fonte, através das quais pode-se estabelecer as igualdades:

(12)

(13)

Estabelecendo igualdades a partir das equações (12) e (13), substituindo-se as autofunções pelas suas formas encontradas a partir da solução das equações (5), (6) e (7) e utilizando a condição incial em t=0 e a condição de fonte em x=0, chega-se em:

(14)

(15)

Nas equações (14) e (15), L-1 representa transformadas inversas de Laplace. Assim sendo, a solução geral que expressa a concentração de uma substância emitida por uma fonte discreta é dada por:

(16)

Considerando F(y) e Q(t) como deltas de Dirac, pode-se encontrar soluções com formas distintas de fontes dependentes do tempo utilizando o princípio da superposição para problemas com operadores lineares. Para uma fonte função de Heaviside H(t) a solução é escrita como:

Nessa solução, estão presentes os coeficientes de difusão nas direções horizontais. Na expressão para a concentração dada pela equação (17), foi considerada uma fonte H(t) emitindo em um intervalo τ ∈ (t0,t). Assim, a solução para o problema é dada pela integração em τ no intervalo [t0,t] .

Sabendo que as condições metereológicas variam de forma significativa em um determinado período, pode-se utilizar a equação (17) considerando intervalos de tempo, na integração, com comprimento (duração) desejado. Dessa forma, a pluma será composta por um conjunto de segmentos Cj, para cada intervalo de tempo Δtj=[tj-1, tj] e a concentração será dada pela soma desses segmentos, conforme equação a seguir:

(18)

onde A=u2 + v2, B=2u(x-ut)+2v(y-vt), C=(x-ut)2 + (y-vt)2 e D=16 (x/u)2 Kx Ky, o índice j designa o j-ésimo intervalo, sendo t0=0 e tN=t. Nesta formulação, é possível simular condições meteorológicas distintas medidas a cada intervalo tj=[tj-1, tj]. A concentração média para esse caso, é escrita como:

(19)

 

 

2.1 Parametrizações utilizadas no modelo

A precisão dos modelos de dispersão atmosférica está diretamente relacionada com os parâmetros turbulentos, que por sua vez, estão relacionados às propriedades dinâmicas e termodinâmicas da CLP. Do ponto de vista físico, a parametrização da turbulência é a aproximação da natureza que substitui um termo desconhecido.

Para incluir no modelo a influência de contribuições estocásticas, introduziu-se momentos estocásticos nas variáveis u e v, sendo:

(20)

(21)

As flutuações representadas por u' e v', foram estabelecidas de acordo com a relação apresentada a seguir (OETTL; ALMBAUER; STURM, 2001):

(22)

(23)

onde u' e v' são as flutuações das velocidades, σu e σv são os desvios padrão das respectivas velocidades, χ é um número randômico com média zero e desvio padrão igual a um e ρ é um parâmetro de intercorrelação, dado por:

(24)

com A e B sendo constantes determinadas empiricamente com valores 0,5 e 0,2 respectivamente e Δt sendo um intervalo de tempo randômico no qual as flutuações da velocidade horizontal permanecem constantes.

Considerando o efeito de difusão causado pela ação da turbulência na direção x, y e z, para velocidades diferentes de zero, os coeficientes de difusão, K, são funções lineares da distância da fonte, ou seja:

(25)

Onde α, β e γ representam parâmetros turbulentos, que variam conforme a estabilidade atmosférica e x é a distância a partir da fonte. Nesse trabalho, utilizou-se a parametrização proposta por Sharan, Singh e Yadav (1996), para estimativa de Kz na qual:

 

(26)

Por sua vez, α e β foram obtidos a partir da relação proposta por Sharan, Yadav e Singh (1996), na qual:

(27)

(28)

Para estimar o perfil de vento na direção longitudinal, utilizou-se a equação proposta por BUSINGER et al., (1971):

(29)

Para o caso aqui estudado, a altura da rugosidade z0 foi definida como 0,005 m, conforme trabalhos de Brusaca, Tinarelli e Anfossi (1992) e Sharan e Yadav (1998) e k é a constante de von Kármám. Os parâmetros u*, e L, são chamados de velocidade de fricção e comprimento de Monin-Obukov, respectivamente, e são calculados a partir das equações a seguir:

(30)

(31)

 

2.2 Experimento de INEL

De autoria de Sagendorf e Dickson, (1974), o experimento de INEL (Idaho National Engineering Laboratory) foi uma série de 14 testes de difusão realizados em condições atmosféricas estáveis e ventos fracos, em um terreno plano e uniforme. Devido a variabilidade na direção do vento, foi implementada uma malha de amostragem de 360o. Foram dispostos arcos a distâncias de 100, 200  e 400 metros a partir do centro da malha. Coletores foram locados em intervalos de 6o em cada arco, totalizando 180 pontos de amostragem. O traçador SF6 foi liberado a uma altura de 1,5 metros e a coletagem realizada a 0,76 metros de elevação a partir do solo. A média horária das concentrações foi determinada por meio de captura de elétrons através de cromatografia. Os dados do experimento de INEL utilizados nessa pesquisa estão apresentados na tabela 1.

 

Tabela 1 – Valores reportados pelo experimento de INEL para a velocidade média do vento (u), direção principal do vento (o ) e desvio padrão do vento em relação a direção principal (o)

Teste

Variável

2 metros

4 metros

4

u (m/s)

0,7

1,2

o

234

245

o

13,6

12,0

5

u (m/s)

0,8

0,9

o

210

215

o

28,4

28,4

7

u (m/s)

0,6

0,9

o

227

228

o

23,9

22,3

8

u (m/s)

0,5

0,8

o

297

314

o

49,6

72,1

9

u (m/s)

0,5

0,8

o

327

340

o

21,4

17,9

12

u (m/s)

0,7

1,1

o

260

278

o

28,8

60,2

 

 

3 Resultados e Discussões

Para a obtenção dos resultados foram utilizados 60 autovalores na solução em série. O modelo de dispersão foi escrito na linguagem Fortran e executado no sistema operacional Windows 10.0. Os dados apresentados a seguir resultam da simulação realizada utilizando os testes do exeprimento de INEL que apresentam velocidade do vento inferior a 1 m/s. Foram utilizados os dados metereológicos da altura de referência de 2 m ou 4 m, optando por aqueles com velocidade do vento mais próxima a 1 m/s,  são eles os testes 4, 5, 7, 8, 9 e 12.

A tabela 2 expõe os valores obtidos experimentalmente, os preditos pelo modelo proposto e valores preditos por outros dois modelos (OETTL; ALMBAUER; STURM, 2001); (SILVEIRA, 2017).O primeiro é um modelo Lagrangeano estocástico, que faz uso da mesma relação para as flutuações na velocidade da utilizada nesse trabalho. O trabalho de Silveira (2017), por sua vez, é um modelo Euleriano com solução da equação de advecção-difusão pela técnica GILTT. Os resultados escolhidos para comparação foram obtidos pelo autor considerando o efeito do meandro e o perfil de vento de similaridade. Através da tabela 1, é possível inferir que o modelo referido tem apresentado um desempenho adequado.

 

Tabela 2 – Concentrações observadas (Co) e preditas pelo modelo proposto (Cp) e pelos modelos de Silveira e Oettl et al

Exp.

Dist.(m)

Co

Cp

Silveira (2017)

Oettll (2001)

4

100

153,4

111,23

150,2

169,0

200

79,0

55,4

76,0

59,0

400

38,8

27,7

27,7

21,0

5

100

49,6

47,5

75,0

59,0

200

31,7

20,6

43,9

43,0

400

11,1

10,6

19,4

18,0

7

100

46,5

48,5

64,2

46,0

200

26,1

24,0

31,7

43,0

400

37,1

12,0

34,6

15,0

8

100

25,7

22,5

35,5

28,0

200

13,8

15,2

18,4

23,0

400

14,4

12,4

18,4

9,0

9

100

43,6

78,2

61,8

77,0

200

22,7

37,8

32,3

58,0

400

15,7

18,2

16,7

18,0

12

100

59,3

57,1

85,3

60,0

200

52,6

27,2

61,3

40,0

400

29,5

14,9

29,6

17,0

 

Por utilizar flutuações nas velocidades horizontais do vento, o modelo proposto consegue representar oscilações na pluma, caracterizando um comportamento mais próximo ao observado. Caso não consideradas essas flutuações, o comportamento da pluma seria representado de forma similiar a uma Gaussiana. As figuras abaixo mostram esse efeito.

 

Figura 1 – Concentrações normalizadas (Cu4)/Q) (m2) observadas (linha azul), preditas pelo modelo de forma determinística (linha verde) e preditas pela modelo de forma estocástica (linha vermelha) para o arco de 100m, 200m e 300m, respectivamente, do teste 4 e 5 do experimento de INEL

 

O caráter estocástico do modelo é mais importante quando o desvio padrão do vento em relação a direção principal é maior. Essa importância fica evidenciada se comparados os gráficos referentes ao teste 4 e ao teste 8. Na figura 1 tem-se a simulação do teste 4, onde σθ=13,6º e na figura 3 tem-se o teste 8, onde σθ =72,1o. No caso do teste 8, onde as condições climáticas resultaram em uma dispersão em 360o no entorno da fonte, é  acentuada a importância do caráter estocástico do modelo. Esses dois testes são os que apresentam maior e menor desvio padrão do vento dentro da série de testes estuda nesse trabalho.

 

Figura 2 – Concentrações normalizadas (Cu4)/Q) (m2) observadas (linha azul), preditas pelo modelo de forma determinística (linha verde) e preditas pela modelo de forma estocástica (linha vermelha) para o arco de 100m, 200m e 300m, respectivamente, do teste 7 e 8 do experimento de INEL

 

Figura 3 – Concentrações normalizadas (Cu4)/Q) (m2) observadas (linha azul), preditas pelo modelo de forma determinística (linha verde) e preditas pela modelo de forma estocástica (linha vermelha) para o arco de 100m, 200m e 300m, respectivamente, do teste 9 e 12 do experimento de INEL

 

 

4 Conclusões

Por apresentar uma solução na forma analítica, o modelo proposto facilita o entendimento e descrição dos fenômenos físicos envolvidos no problema, pois considera explicitamente todos os parâmetros presentes. Tratando-se de um modelo Euleriano, obtido a partir da equação de advecção-difusão, a inserção dos coeficientes difusivos nas direções horizontais é uma adaptação desejada para simulação de dispersão em condições de vento fraco. Além disso, a inserção de variáveis estocásticas faz com que a representação matemática seja mais próxima dos fenômenos que ocorrem na natureza.

Os resultados obtidos até o momento mostram um comportamento similar para a abertura da pluma e para os valores de picos obtidos pelo modelo proposto com aqueles obtidos experimentalmente, indicando que o mesmo demonstrou um desempenho adequado. É importante salientar que a principal vantagem em comparação com os trabalhos da literatura que utilizam apenas o método GILTT é a não necessidade de realizar a inversão numérica na variável temporal, o que possui influência direta no custo computacional necessário para obtenção dos resultados.  

 

 

Agradecimentos

Os autores agradecem a CAPES pelo incentivo financeiro.

  

 

Referências 

BRUSASCA, G.; TINARELLI, G.; ANFOSSI, D. Particle model simulation of diffusion in low wind speed stable conditions. Atmospheric Environment, v. 26A, p. 707–723, 1992.

BUSINGER, J.; WYNGAARD, J. C.; IZUMI, Y.; BRADLEY, E. F. Flux–profile relationships in the atmospheric surface layer. Journal of the Atmospheric Sciences, v. 28, p. 181–189, 1971.

FURTADO, I. C.; BODMANN, B. E. J.; VILHENA, M. T. On the reconstruction of concentration distributions from comparison of deterministic predictions to observational data. American Journal of Environmental Engineering, v. 6, n. 4(A), p. 6–11, 2016.

GONCALVES, G. A.; BUSKE, D.; QUADROS, R. S.; WEYMAR, G. J. A new approach to solve the time-dependent three-dimensional advection-diffusion equation applied to model air pollution dispersion in the planetary boundary layer. International Journal of Development Research, v. 8, p. 20535–20543, 2018.

LOECK, J. F. Efeitos estocásticos em modelos determinísticos para dispersão de poluentes na camada limite atmosférica. 2014. 81 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia) — Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2014.

OETTL, D.; ALMBAUER, R. A.; STURM, P. J. A new method to estimate diffusion in stable, low-wind conditions. American Meteorological Society, v. 40, p. 259–268, 2001.

PASQUILL, F.; SMITH, F. B. Atmospheric Diffusion. 2. ed. New York: Halsted Press, 1983.

SAGENDORF, J. F.; DICKSON, C. R. Diffusion under low wind-speed, inversion conditions. [S.l.], 1974.

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SHARAN, M.; YADAV, A. K.; MODANI, M. Simulation of short-range diffusion experiment in low-wind convective conditions. Atmospheric Environment, v. 36, p. 1901–1906, 2002.

SILVEIRA, V. C. d. Simulação tridimensional da dispersão de poluentes em um modelo Euleriano considerando o efeito do meandro do vento. 2017. 143 f. Tese (Doutorado em Meterologia) — Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, 2017.