Universidade Federal de Santa Maria
Ci. e nat., Santa Maria, v. 42
Commemorative Edition: Statistic, e56, 2020
DOI: http://dx.doi.org/10.5902/2179460X40501
Received: 11/10/2019 Accepted: 03/03/2020
Bacharelado
Inferência bootstrap para intervalo de confiança de modelo de regressão quadrática
Bootstrap inference for quadratic regression model confidence interval
Nicásio Gouveia I
Ana Lúcia Souza Silva Mateus II
Augusto Maciel da Silva III
Leandro Ferreira IV
Suelen Carpenedo Aimi V
I Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Brasil. E-mail: nicasiogouveia@yahoo.com.br.
II Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Brasil. E-mail: analucia.stat@gmail.com.
III Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Brasil. E-mail: augustolavras@gmail.com.
IV Universidade Federal de Alfenas, Alfenas, Brasil. E-mail: le.ferreira@gmail.com.
V Universidade Federal do Pampa, Bagé, Brasil. E-mail: suaimi@gmail.com.
RESUMO
Este estudo foi realizado, com objetivo de propor a construção de intervalos de confiança para o ponto crítico de um modelo de regressão de segundo grau, utilizando a metodologia bootstrap paramétrico. Para obtenção da distribuição do ponto crítico, foram utilizados dados de crescimento em altura das plantas C. canjerana em função das doses crescentes de fertilizantes. A partir da análise bootstrap paramétrico, foram consideradas diferentes variâncias teóricas para o erro e intervalos de confiança foram construídos. Além disso, foram examinadas diferentes expressões de variâncias com a finalidade de encontrar intervalo de confiança bootstrap-t. A estimativa pontual do ponto crítico foi de 10,7423 gL-1 de doses de fertilizantes no crescimento das plantas de C. canjerana. Verificou-se que os intervalos de confiança que consideraram a expressão da variância com covariância entre os parâmetros do modelo de regressão, apresentaram resultados mais satisfatórios, ou seja, resultados com maior precisão.
Palavras-chave: Bootstrap paramétrico; C. canjerana; Variância teórica.
ABSTRACT
This study was carried out with the purpose of proposing a construction of confidence intervals for the critical point of a second degree regression model using a parametric bootstrap methodology. To obtain the distribution of the critical point, height growth data of the plants were used. From the analysis, the theoretical variables for the error and the confidence intervals were constructed. In addition, we examined different variance expressions with the purpose of the bootstrap-t confidence interval. The point estimate of the critical point was 10.7423 g L-1 of fertilizer doses without growth of C. canjerana plants. It was verified that the confidence intervals that considered the expression of the variance with the covariance between the regression models, present more satisfactory results, that is, results with more precision.
Keywords: Parametric bootstrap; C. canjerana; Theoretical variance.
1 INTRODUÇÃO
Em pesquisas acadêmicas, quando existe o interesse em obter a estimativa do parâmetro a ser analisado, isso pode ser feito de duas formas: pontual ou intervalar. O problema da estimação pontual é que ela não avalia a precisão da estimativa obtida. Dessa forma, é importante obter um intervalo que nos dê uma ideia da confiança que se pode depositar na estimativa pontual.
Quando o interesse está em avaliar a produção de uma determinada cultura em função de diferentes doses de nutrientes, considerando que o comportamento dos dados possa ser descrito por meio de um modelo de regressão quadrática, um dos resultados a ser analisado é a estimativa pontual do ponto de máximo ou de mínimo do modelo, denominado de ponto crítico. Essa quantidade é a estimativa da dose de nutriente que proporciona uma produção máxima ou mínima da cultura. Entretanto, o maior desafio está em associar incertezas a essa estimativa, medidas como erro padrão e intervalos de confiança podem ser úteis para traduzir essas incertezas existentes na estimação pontual.
Para a construção do intervalo de confiança é necessário a estimativa da variância do ponto crítico. Conforme Nunes et al. (2004) e Freitas (1978) o conhecimento da variância de um ponto crítico pode ser de muita importância, pois possibilita construir intervalos de confiança para o verdadeiro valor do ponto crítico e testar sua validade ou não por meio de uma hipótese de interesse a seu respeito. Logo, um dos maiores desafios está em encontrar uma variância para o estimador do ponto critico, pois o mesmo envolve um quociente de variáveis aleatórias.
Na literatura é comum o uso de várias metodologias para a construção dos intervalos de confiança para o ponto crítico de modelos de regressão quadrática, como o método Delta utilizado por Hirschberg e Lye (2005), lógica fuzzy e análise bayesiana por Ferreira (2012).
Nesse contexto, surge também a metodologia bootstrap, desenvolvida por Efron (1979), que consiste em admitir a amostra original como se fosse a própria população, as novas amostras com reposição são obtidas a partir de reamostragem da amostra original, denominadas de amostras bootstrap, na qual representam diferentes situações experimentais com a idéia de que o experimento é repetido por diversas vezes. Essa metodologia pode ser praticada tanto de forma paramétrica quanto de forma não paramétrica. No caso do bootstrap paramétrico, a amostragem é realizada com base numa distribuição ajustada às observações amostrais.
De acordo com Efron e Tibshirani (1993) para cada amostra bootstrap, é calculada uma estimativa para a estatística de interesse. Ao final do processo de reamostragem, o conjunto das estimativas obtidas, denominadas de estimativas bootstrap, dá origem à distribuição bootstrap, que tem aproximadamente a mesma forma e dispersão da distribuição amostral da estatística, porém está centrada no valor da estatística original e não no valor do parâmetro de interesse. Com isso, tal técnica pode geralmente fornecer resultados mais precisos.
Dito isso, este trabalho tem por objetivo construir intervalos de confiança para o ponto crítico de um modelo de regressão quadrática, utilizando a metodologia bootstrap paramétrico de acordo com diferentes variâncias teóricas para o erro e formas distintas de cálculo das variâncias do ponto crítico.
2 MATERIAL E MÉTODOS
2.1 Ponto crítico de modelo de regressão quadrática
Seja o modelo de regressão quadrática, com uma variável independente dado por:
|
|
(1) |
em que:
representa o i-ésimo valor
observado de uma variável dependente;
são
os parâmetros a serem estimados;
representa
o i-ésimo valor fixo de uma variável independente;
representa
o i-ésimo erro aleatório, associado à observação
que, em geral, são considerados
independentes e normalmente distribuídos com média zero e variância constante
.
A obtenção de um ponto crítico de uma dada
função é feita conforme Guidorizzi (2001), derivando-se o modelo (1) em relação
à e igualando a zero é dada por:
|
|
(2) |
O estimador do ponto crítico será a abscissa de
um ponto de máximo se for negativo
e será de mínimo se
for positivo.
2.2 Intervalo de confiança para o ponto crítico
A Tabela 1 apresenta os intervalos de confiança
propostos para o ponto crítico
, considerando as fórmulas das
variâncias apresentadas por Mood, Graybill e Boes (1974), representada por
, D'Aulísio, Pimentel-Gomes e
Nogueira (1976), representada por
e a
fórmula comum da variância, representada por
.
Tabela 1 – Intervalos de confiança propostos para o ponto crítico
|
Intervalo de confiança |
Fórmula da variância |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fonte: Elaborado pelo autor.
Para a construção dos
intervalos e
, foram encontrados os intervalos
e
, referentes a cada reamostragem
, considerando as fórmulas das
variâncias
e
, respectivamente, com 95% de confiança e
reamostragens. Em cada
reamostragem
, foram encontradas as estimativas do ponto crítico
, sendo
o valor crítico da distribuição
de Student com 45 graus de
liberdade
e
.
Ao término das 3000
reamostragens, a média dos limites dos intervalos foi encontrada, obtendo
, em que
e
são, respectivamente, as médias
dos limites inferiores e superiores, com base nos intervalos
. O mesmo procedimento foi realizado para a construção
do intervalo
,
obtendo
, em que
e
são, respectivamente, as médias
dos limites inferiores e superiores com base nos intervalos
.
Para e
, as médias
e
e as
variâncias
e
, referentes aos estimadores
e
, foram
encontradas em cada reamostragem
,
obtendo
e
.
Para a construção do
intervalo ,
intervalo bootstrap padrão, foi encontrada a média das 3000 estimativas
do ponto crítico
, obtidas em
cada reamostragem. Para tanto, foi utilizada a fórmula da variância comum
, em
que
, e o valor crítico da
distribuição
de Student
, para
e
.
Intervalos de
confiança bootstrap-t foram encontrados de acordo com Efron e Tibshirani
(1993), considerando as variâncias e
, obtendo, respectivamente, os
intervalos
e
, com 95% de confiança. Para
tanto, em cada reamostragem
, foram obtidas as seguintes quantidades pivotais:
|
|
(3) |
|
|
(4) |
em que representa a estimativa do ponto
crítico considerando a amostra original,
representa a estimativa do ponto
crítico referente a reamostragem
e,
e
são as variâncias referentes a
cada reamostragem
, sendo
. Com base nas distribuições das
quantidades pivotais
e
, foram obtidos os percentis
e
, respectivamente.
2.3 Análise bootstrap
A análise bootstrap paramétrico foi
efetuada, supondo as estimativas alcançadas via métodos dos mínimos quadrádos, e
, como os verdadeiros valores de
e
, sendo
, o estimador do ponto crítico.
Desse modo, 3000 reamostragens foram realizadas, definindo diferentes cenários
experimentais, nos quais os erros assumiram uma distribuição normal com média
zero e as subsequentes variâncias teóricas:
/9,
/7,
/5,
/3,
e 1,5
.
Os cinco intervalos de confiança descritos forão comparados e avaliados. Além disso, foram contruídos também histogramas dos pontos críticos reamostrados a fim de verificar a forma de distribuição de frequência dos mesmos. As análises estatísticas foram realizadas com a utilização do software R (R Development Core Team, 2018).
Para que as oscilações provocadas pela aleatoriedade do método bootstrap sejam minimizadas durante o processo de reamostragens, Ferreira (2009) sugere um mínimo de 1000 reamostragens. Conforme o autor, para a grande maioria das situações, um número de reamostragem igual a 2000 fornece excelentes resultados. Com base nessas informações, o seguinte artigo adotou-se o valor de 3000.
2.4 Dados experimentais
Para a realização deste manuscrito, foi utilizado os dados experimentados por Aimi et al. (2016), na qual avaliaram a altura das plantas Cabralea canjenara em função de doses de fertilizante e de tubetes de polipropileno. O experimento foi conduzido em um delineamento experimental inteiramente casualizado (DIC) em esquema fatorial (6x2), com quatro repetições. Os tratamentos foram constituídos de seis doses de fertilizante de liberação controlada (FLC): 0 (controle); 2,5; 5,0; 7,5; 10,0 e 12,5 g L-1 substrato em dois tubetes de polipropileno em formato cônico com volume de 110 cm3 e 180 cm3.
A variável analisada altura (cm) foi influenciada significativamente pelas doses de fertilizante nos dois tubetes analisados. Dessa maneira, foi considerado o seguinte modelo de regressão quadrática:
|
|
(5) |
em que:
representa o i-ésimo valor observado da altura da planta;
são os parâmetros a serem
estimados;
representa o i-ésimo valor fixo
da dose fertilizante;
representa o i-ésimo erro
aleatório, associado à observação
,
onde
.
3 RESULTADOS E DISCUSSÃO
Em conformidade com o método dos mínimos
quadrados, o modelo de regressão quadrática ajustada foi igual a , com R2 = 0,8064 que explica
80,64% da variabilidade dos dados, mostrando um modelo adequado para os dados
de crescimento em altura (y) em função das doses crescentes (x) de
fertilizantes, e a variância σ2 =2,31. A estimativa pontual do ponto crítico foi de 10,7423 g L-1 de
doses de fertilizantes, ocasionando no crescimento máximo de altura das plantas
C. canjerana.
3.1 Análises Bootstrap
A partir dos resultados do processo de reamostragem bootstrap, a Tabela 2 apresenta os valores médios das estimativas obtidas nas 3000 reamostragens para o ponto crítico (η) e para os cinco diferentes intervalos de confiança apresentados (ICa, ICb, ICc, ICd , e ICe) em função das diferentes variâncias teóricas do erro experimental.
Os valores dos pontos críticos, considerando as diferentes variâncias, encontram-se em média em torno de 10,0766 (Tabela 2). Percebe-se que há uma leve tendência de crescimento nas estimativas do ponto crítico com o acréscimo da variância teórica.
Ao analisarmos a Tabela 2, podemos verificar que os resultados mostram que a variância residual afeta bastante na estimação dos IC para o ponto crítico. Desse modo, à medida que a variância aumenta, os IC tendem a apresentar maior amplitude, indicando a presença de menor precisão entre os limites de confiança. Análogo resultado também foi averiguado por Ferreira (2012) em um estudo com diferentes fórmulas de variância na estimação do ponto crítico na análise da produção máxima de matéria seca.
Semelhante resultado também foi verificado por Nunes et al. (2004), ao estudarem com diferentes fórmulas de variância do ponto crítico, por meio de simulação de Monte Carlo, na avaliação da produção máxima para a cultura do algodão.
Tabela 2 – Valores médios do ponto crítico e dos intervalos de confiança, em função de diferentes variâncias teóricas consideradas, utilizando o método de reamostragem
|
Variâncias teóricas |
|
ICa |
ICb |
ICc |
ICd |
ICe |
|
0,26 |
10,0766 |
[9,6900; 10,4584] |
[8,9894; 11,1590] |
[9,6007; 10,5477] |
[3,0410; 21,7459] |
[2,6934; 21,5215] |
|
0,33 |
10,0722 |
[9,6290; 10,5320] |
[8,8072; 11,3538] |
[9,5385; 10,6225] |
[2,9506; 20,3013] |
[2,6083; 19,9060] |
|
0,46 |
10,0807 |
[9,5681; 10,6016] |
[8,6304; 11,5393] |
[9,4453; 10,7245] |
[1,5515; 23,0786] |
[0,8149; 22,5788] |
|
0,77 |
10,1147 |
[9,4210; 10,7768] |
[8,1984; 11,9994] |
[9,2719; 10,9259] |
[2,0705; 18,4853] |
[1,1253; 17,9980] |
|
2,31 |
10,1765 |
[8,9156; 11,4135] |
[6,7380; 13,5911] |
[8,5900; 11,7391] |
[3,1923; 19,2932] |
[2,3314; 18,3497] |
|
3,47 |
10,2537 |
[8,6436; 11,8833] |
[5,9417; 14,5851] |
[8,1904; 12,3364] |
[3,1135; 21,2189] |
[1,5468; 19,7775] |
