Universidade Federal de Santa Maria
Ci. e Nat., Santa Maria, v. 41, e23, 2019.
DOI: http://dx.doi.org/10.5902/2179460X32231
Received: 16/04/2018 Accepted: 22/03/2019
Section Mathematics
Do círculo ao quadrado, um estudo sobre a convergência de uma sequência de curvas
From circle to square, a study on the convergence of a curve sequence
Anderson Luiz Pedrosa Porto I
Douglas Frederico Guimarães Santiago II
Leonardo Gomes III
Márcio Henrique Marques Macedo IV
I Instituto de Ciência e Tecnologia – ICT, Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri – UFVJM, Diamantina, MG, Brasil.
ander.porto@ict.ufvjm.edu.br
II Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri – UFVJM, Diamantina, MG, Brasil.
douglas.santiago@ict.ufvjm.edu.br
III Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri – UFVJM, Diamantina, MG, Brasil.
leonardo.gomes@ict.ufvjm.edu.br
IV Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri – UFVJM, Diamantina, MG, Brasil.
marquesmarcio95@hotmail.com
Resumo
Neste trabalho apresentamos aplicações dos conceitos de convergência de sequências numéricas e de funções a um problema geométrico, o qual surgiu a partir de uma análise utilizando-se do GeoGebra. Tal questão envolve o comportamento de uma família de traços de curvas planas, cujo traço da curva inicial é dado por um círculo de raio k e cujo os demais, se aproximam, intuitivamente, de um quadrado de lado medindo 2k. É feita uma prova desta convergência, bem como, uma demonstração de que as áreas subentendidas pelos traços das curvas e os comprimentos de arco destas, convergem respectivamente para a área e comprimento de arco do quadrado limite. Também apresentamos uma breve ambientação histórica dos conceitos de convergência e das ideias de infinito por trás destes conceitos. Com o objetivo de ser desenvolvido ao nível de graduação, tal artigo vai de certa forma, de encontro ao que historicamente foi feito para se determinar características de figuras curvas através de aproximações por figuras retilíneas.
Palavras-chave: Curvas. Convergência pontual. Convergência uniforme. Sequências. Traço.
Abstract
In this paper we present convergence concepts applications of numerical and functions sequences to a geometric problem which raised from an analysis using GeoGebra. This question involves the traces’s family of plane curves behavior, whose initial trace of the curve is given by a circle of radius k and the whose others, intuitively, approach to a square with side measuring 2k. A proof of this convergence is done, as well a demonstration that the areas bounded by the traces of the curves and their lengths converge, respectively, to the area and length of the boundary square. We also present a brief historical setting of convergence concepts and the ideas of infinity behind these concepts. In order to be developed to graduation level, this paper goes some way meet what historically was done to determine properties of curved figures through approximations by rectilinear figures.
Keywords: Curves. Pontual convergence. Uniform convergence. Sequences. Trace.
1 Introdução
A matemática surgiu com a necessidade de se resolver problemas do cotidiano do ser humano, sempre procurando obter através dessa ciência resultados confiáveis e com um sentido lógico.
Essa necessidade trouxe, por exemplo, o desenvolvimento dos conceitos de infinito e Limite: definições que devido às dificuldades do assunto só foram formalizadas de forma satisfatória com o decorrer de vários séculos. Com estes conceitos solidificados, grande parte das ciências atuais, ciências não somente exatas, vivenciaram grande avanço nas pesquisas, evidenciando a importância destes conceitos.
O horror infiniti era um termo usado para mostrar quanto assustadora e ilógica era a ideia do infinito, isto era o que pensavam a maioria dos matemáticos gregos da antiguidade. Mesmo assim, ainda houveram alguns que se opuseram parcialmente a essas ideias e desenvolveram artifícios teóricos importantíssimos para a matemática atual.
Como exemplo, temos um dos principais matemáticos gregos: Eudoxo, responsável pela construção do método da exaustão (Boyer, 1996). Este método foi de grande importância principalmente em dois quesitos. O primeiro, foi a fundamentação teórica para calcular perímetros e áreas de figuras curvilíneas por construções de polígonos conhecidos, como a área de um círculo que foi calculada utilizando-se de tal teoria. O segundo quesito foi a abertura das portas das ciências matemáticas para o estudo das séries infinitas, ou até mesmo, do cálculo de integrais em tempos mais modernos.
Segundo Ávila (2011): “A primeira ocorrência de uma série infinita de que se tem notícia encontra-se num trabalho de Arquimedes em que ele calcula a área de uma parábola”. Já durante o século XIV, matemáticos das universidades européias, principalmente de Oxford e de Paris, voltaram a estudar as séries infinitas impulsionados pelos problemas da cinemática medieval (Ávila, 2011). Um dos principais resultados obtidos nessa época foram referentes à divergência da série harmônica.
A demonstração de que a série harmônica diverge, feita pela primeira vez por Oresme, mostra como é decisivo o papel do raciocínio lógico para estabelecer uma verdade que jamais seria descoberta de outra maneira. Ávila (2011).
Utilizando-se de artifícios somente intuitivos, provavelmente, nunca teríamos ideia de que a mesma divergisse. Porquê como é dito em Ávila (2011), se fôssemos capazes de realizar cada soma em um segundo, demoraria 100 anos para a soma atingir pouco mais de 22. E caso as operações fossem realizadas na velocidade máxima possível de um computador, em um bilhão de anos teríamos pouco mais de 91 como resultado.
Com o surgimento da Geometria Analítica a partir das ideias de Descartes, a formalização do Cálculo Diferencial e Integral com Newton e Leibniz, e ainda mais adiante, o surgimento da Análise Matemática, desenvolveram-se esses processos infinitos de forma mais precisa.
Porém, mesmo que os processos infinitos tenham sido cada vez mais presentes nos estudos matemáticos, ninguém havia conseguido obter uma definição satisfatória para a ideia de limite, como é dito em Boyer (1996). “D’Alembert achava que a “verdadeira metafísica”do cálculo se encontrava na ideia do limite”. O mesmo chegou a propor uma definição, contudo haviam algumas inconsistências na mesma. Assim, a definição de limite como conhecemos hoje, só foi desenvolvida a partir do século XIX com as ideias de Karl Weierstrass, Cauchy, e outros matemáticos da época. Ainda segundo Boyer (1996): “O grande tempo necessário para formalizar a ideia de limite, mostra o quanto essa ideia pode ser abstrata, difícil ou até mesmo, quase ilógica”.
Como é dito em uma discussão de Galileu e Salviati
[...] infinitos e indivisíveis transcendem nosso entendimento finito, os primeiros por causa de sua grandeza, os outros por causa de sua pequenez, imaginem o que são quando combinados. (Boyer, 1996).
Este trabalho surgiu após verificarmos graficamente no GeoGebra
que os traços de uma dada família
de curvas planas (sequência de curvas planas)
não retilíneas pareciam
se aproximar, pelos
gráficos obtidos, do traço de uma curva na forma de um quadrado.
Cabe ressaltar, que isto é um pouco
parecido e ao mesmo tempo “oposto”
aos estudos aqui já mencionados sobre infinito e limite.
Para ser mais claro, os traços das curvas mencionadas anteriormente, são os
lugares geométricos dos pontos do plano que
satisfazem as equações:
;
onde notamos que a primeira curva possui como traço uma
circunferência centrada na origem, e as demais curvas possuem traços que se
aproximam, num certo sentido, cada vez mais de um quadrado com centro em (0,0)
(veja a Figura 1 para o caso em que
).
Utilizando-se de parametrizações para essas curvas,
mostramos que essa sequência de curvas converge uniformemente (também pontualmente) para uma curva,
chamada neste texto de quadrado limite, cujo o traço é dado por um quadrado
com vértices (). Além
disso, verificamos que essa convergência independe da escolha da parametrização.
Por fim, apresentamos duas outras questões que surgiram da análise intuitiva baseada nos lugares geométricos encontrados pelo uso do GeoGebra. A primeira trata da convergência da sequência numérica gerada a partir dos valores das respectivas áreas dos traços das curvas. A segunda, trata dos seus respectivos comprimentos. Provamos que as sequências numéricas obtidas convergem respectivamente para 4k2 e 8k, cujas quais são a área e o comprimento do quadrado limite, respectivamente.
Figura 1 - Lugares geométricos das equações x2n + y2n = 1, para n = 1,2,4,8
Fonte: Autores
2 Definições
As definições a seguir
podem ser encontradas nos livros Lima
(2000, 2010) e foram
colocadas neste texto
para uma comodidade ao leitor.
Considere o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais,
também conhecido como espaço euclidiano n-dimensional, onde
. Tal conjunto é um espaço vetorial real de dimensão
n sobre os
com operações
dadas por:
e
, com
.
Definição 1. Uma norma em
é uma
aplicação
que
satisfaz:
1. ;
2. ;
3. .
O símbolo na definição acima,
representa o valor absoluto em
. O espaço
juntamente com uma norma
, será dito um espaço normado.
Algumas vezes neste texto, poderemos
escrever a norma no espaço
euclidiano, simplesmente como
. Em Lima (2000),
temos: se
, as mais importantes normas no espaço euclidiano, são:
(Norma da soma);
(Norma do máximo);
(Norma euclidiana).
Definição 2. Seja . Uma função
pode ser
escrita na forma
, onde cada
é chamada
de função coordenada da função
. Diz-se que um ponto
é o limite de
quando
tende para
, se dado
qualquer
, pode-se
obter um
tal que
se
e
, então
. Tal fato é expresso pela seguinte notação:
.
Notamos que
.
Definição 3. Diz-se que é contínua em
se para qualquer
dado,
pode-se obter um
tal que
se
e
, então
. Uma função
é contínua em
se
é contínua em cada um dos pontos deste conjunto.
Embora a definição
de continuidade de uma aplicação como acima faça uso de uma norma em e outra em
(ambas indicadas acima com a mesma
notação), segue da definição de norma equivalente
e do Teorema 8 em Lima (2000), que a
continuidade (ou a descontinuidade) de
num ponto persiste
se alterarmos uma dessas normas
ou ambas. Lembre-se também que as normas
,
e
são equivalentes entre si.
Observação 1. Uma função
como na Definição 3 é contínua em se, e somente se, cada uma das funções
coordenadas é contínua no ponto
(Lima, 2000).
Definição 4 (Sequência e limite).
i) Uma sequência em é uma aplicação
. A imagem que essa função assume em
é
, o k-ésimo termo da sequência
. Usaremos
a notação
para indicar a sequência
, cujo o k-ésimo
termo é
. Se
, chamaremos
de sequência numérica.
ii) Diz-se que o ponto é o limite da sequência
, se para todo
, é possível obter um
, tal que se
, então
, onde
é uma norma
do
. Neste caso, diremos
que a sequência
converge para
ou tende a
, e escreveremos
, então,
.
Como podemos ver em Lima (2000), a definição precedente,
independe da norma em .
Definição 5. Diremos que uma sequência de aplicações converge simplesmente para
uma função
, onde
é um intervalo da reta, quando
dados
e
, existe um
tal que
sempre que
.
Usaremos ao longo
de todo o texto, a notação para
representar a sequência das funções
. Segue da definição
precedente, que para cada
(fixado)
temos
.
Definição 6. Diremos que uma sequência
de aplicações converge uniformemente para uma
função
, onde
é um
intervalo da reta, quando dados
e
, existe um
tal que
sempre que
. (Lima (2000), p. 267)
Como visto, a diferença entre
a convergência uniforme e a convergência pontual é que, na segunda, para cada dado,
podemos determinar um
que depende
apenas de
, enquanto que na convergência pontual, também é possível
determinar um
, mas no entanto, este depende também do
ponto
fixado, sendo assim a convergência uniforme, implica a convergência pontual. A convergência,
tanto uniforme quanto pontual, não depende da norma que se considera no espaço
euclidiano em questão.
Definição 7. Uma aplicação onde
é um intervalo
da reta, é uma curva parametrizada contínua1
se
é contínua em
.
1Escreveremos
ao longo do texto, sempre que não houver confusão, simplesmente a curva
contínua ou a curva
.
Dado , temos
, onde
é dito o parâmetro da curva, as funções
são as funções coordenadas como na Definição
2, que também serão chamadas
de as funções paramétricas de γ. A imagem da aplicação
é dita o traço da curva
, isto é, o traço de
é um subconjunto do espaço euclidiano
. Contudo, na literatura é comum mencionar, com um certo abuso
de linguagem, o traço como
sendo a própria
curva
. Tal menção,
também poderá ser feita neste trabalho. Além disso, a palavra intervalo é aqui considerada em um sentido
amplo, de maneira
que não excluímos os intervalos ilimitados. Se o intervalo
for do tipo [a,
b] , com b >
a, b e
a reais, então
os pontos
e
serão
ditos os pontos
inicial e final,
respectivamente, da curva
.
Definição 8. Uma curva é dita
fechada se seus pontos iniciais e finais coincidem, isto é, se
.
3 Resultados
O Lema a seguir será utilizado na prova do Teorema 1.
Lema 1. Seja tal que |a|
≤ 1, então para todo
, temos
Demonstração. Claramente , para todo
, portanto
para cada
. Agora,
invertendo-se os termos que compõem a inequação e multiplicando o resultado por
(-1), obtemos
, o que
implica que
, para cada
.
3.1 Análise da convergência uniforme de uma sequência de curvas
Considere os subconjuntos do espaço bidimensional euclidiano:
|
|
(1) |
Observação 2. Fixe um . Então
, para todo
, pois caso
contrário, se existisse um
tal que
, então o vetor
teria norma euclidiana
igual a zero, o que implicaria pela
Definição 1 que
, donde teríamos
, um absurdo.
Pela
arbitrariedade de
, temos
, para todo
e para
todo
.
Defina para cada
, as sequências de funções reais
e
, que tem leis de formação, dadas
respectivamente, por
Para cada , temos
|
|
(2) |
com
|
|
(3) |
Note que as imagens
de , bem melhor,
os seus traços,
são dados pelos
lugares geométricos dos pontos do
que
satisfazem a equação
, ou seja, os traços
de
são dados pelos respectivos conjuntos
. As equações (2) e (3) nos dão uma parametrização para cada
, respectivamente.
Queremos provar que a sequência de curvas , converge uniformemente para uma curva
cujo o traço é dado por um quadrado de lado medindo 2k e
centrado na origem, possuindo a seguinte parametrização
|
|
(4) |
É fácil verificar que a curva
é fechada e
em traço dado pelo quadrado supracitado, com seus pontos inicial e final em
. Além
disso, a imagem desta curva (ver Figura 2) é dada pelo caminho poligonal
orientado e percorrido no sentido indicados pelas setas a seguir:
Figura 2 – Traço da curva c
Fonte: Autores
Para mostrar que de fato a sequência de curvas () converge
uniformemente para a curva c, cujo o traço é o "quadrado
limite" da Figura 2, devemos encontrar para cada
, um
tal que
,
seja qual for . Tal fato será provado no Teorema 1, a seguir. Para os cálculos
adiante, utilizaremos sempre a norma do máximo
, já que a convergência uniforme independe da norma utilizada.
Proposição 1. Para
todo e
,
.
Demonstração. Podemos dividir a prova deste fato em casos.
1. Se , temos
Por outro lado, neste caso, como e
, estimamos
Isto mostra que para cada todo
e
, a primeira coordenada de
é a maior
em módulo, e assim usando-se o Lema 1, com
, obtemos
2. Caso , temos
Observe que neste caso,
tem-se e
, e assim
podemos estimar
Portanto, para cada e
, a segunda coordenada de
é a maior
módulo, e assim usando-se o Lema 1, com
, obtemos
3. Para , como
temos
e a prova é análoga ao caso 1.
4. Considere , como
temos
e a prova é similar ao caso 2.
O lema abaixo será usado na
prova do teorema a seguir, e também, na demonstração de um resultado das
subseções posteriores, que trata da convergência dos comprimentos de arcos das
curvas .
Lema 2. Seja a um número real positivo e considere a sequência numérica . Então a sequência
converge para 1.
Demonstração.
Veja (Lima, 2010, p. 28).
Podemos agora provar facilmente o resultado a seguir
Teorema 1. Para todo , a sequência de curvas (
), dada
por (2) e (3) converge uniformemente para a curva
c dada em (4), cujo traço é
um quadrado de lado medindo 2k, conforme a Figura 2.
Demonstração.
De acordo com a Proposição 1, para todo e
, vale
|
|
(5) |
Pelo Lema 2 temos , logo
,
utilizando-se das propriedades do limite. Assim, sabemos que para todo
, existe
, tal que se
, então
para qualquer
, donde
temos a convergência uniforme da sequência (
) para a
curva
,
.
Observação 3. A convergência uniforme da sequência () não depende
das parametrizações escolhidas, para todo
, no seguinte sentido: considere
uma função diferenciável, bijetora e com inversa diferenciável tal que
para todo
, onde
é um intervalo da reta. As curvas
e
são reparametrizações das curvas
e
, respectivamente, que preservam as suas orientações. Assim, como
para todo
, segue da
Proposição 1 que para todo
, temos
Portanto, assim como fizemos na
prova
do Teorema 1, a sequência () converge
uniformemente para
a curva
, cujo traço
é o mesmo da curva limite
.
3.2 Convergência das áreas
Relembremos da subseção
anterior que para cada
, as curvas
dadas
por
satisfazem a equação
, onde
,
e
. Logo
, para todo
e além disso
satisfaz
. Nessa
subseção, provaremos que as áreas compreendidas no interior dos traços dessas
curvas, convergem para a área da curva
, cujo o
traço é o quadrado limite.
Lema 3. Considere a família
de curvas dada acima. A coleção dos traços destas curvas apresenta simetria com
relação aos eixos x e y, além de apresentar simetria com relação ao lugar
geométrico dos pontos do plano que satisfazem a equação y = x.
Demonstração. Trocando-se x por -x ou y por -y, nota-se que a equação
ainda
é válida, portanto
os traços das curvas
apresentam simetria com respeito
aos eixos y e x, respectivamente. Trocando-se x por y na equação
, nota-se
que essa equação
também se verifica, sendo assim os traços
das curvas
apresentam simetria com relação
a reta y
= x do plano xy.
Segue do Lema 3 que as áreas compreendidas entre os interiores dos traços das curvas são dadas pela sequência
numérica (
), onde
|
|
(6) |
de tal forma que a integral em (6), representa a área das respectivas regiões compreendidas no primeiro quadrante do plano xy.
Teorema 2. A sequência
numérica , dada pelas áreas compreendidas entre os traços
das respectivas curvas
, converge para o valor
que corresponde a área compreendida pelo traço do quadrado limite,
que possui lado medindo 2k unidades de comprimento.
Demonstração. Para provar tal teorema note primeiramente que a equação (6) satisfaz:
|
|
(7) |
Defina agora uma outra sequência numérica (), tal
que
|
(8) |
Queremos provar que
|
|
(9) |
Para isto,
observe que para todo tem-se
. Assim para qualquer
:
donde
chegamos que para qualquer :
|
|
(10) |
Por outro lado, para todo :
|
|
(11) |
Logo de (10) e (11) temos
para todo :
Integrando a última
desigualdade de 0 à com relação à
obtemos:
donde segue que
portanto
|
|
(12) |
Logo fazendo e aplicando
o Teorema do Sanduíche (Lima, 2010, p. 26) na inequação (12), obtemos:
Portanto concluímos,
3.3 Convergência dos comprimentos das curvas
Nessa subseção, mostraremos que os comprimentos das curvas imagem,
isto é, os comprimentos dos traços das curvas dadas nas
subseções anteriores, convergem para
o comprimento do traço da curva c, o quadrado limite. Para isto,
precisamos definir como se calcula o comprimento de uma curva, dado por uma
parametrização, .
Definição 9. Seja uma curva
de classe C1, tal que
. O
comprimento da curva
(comprimento de arco de f), denotado por
é dado
pela integral
desde que a integral exista.
É importante salientar que existe uma diferença entre
o comprimento da curva imagem
(comprimento do traço)
e o comprimento da curva, definido
acima (Lima, 2004,
p. 48). Contudo, se dada
como na Definição 9 for bijetora, então
calcula exatamente o comprimento da curva imagem,
ou seja, a medida da trajetória percorrida por
quando
varia
de
até
.
Como será utilizado uma nova parametrização para efetuar os cálculos, faremos uso do Lema 4 a seguir.
Lema 4. Seja uma curva de classe C1. O comprimento desta
curva é invariante por qualquer reparametrização.
Demonstração.
Veja o Corolário 2 (Lima, 2004, p. 51).
Como vimos na subseção anterior, no primeiro quadrante do plano xy temos e
. Podemos
reparametrizar as curvas no primeiro quadrante como:
, em que
Observação 4. Claramente a
parametrização é bijetora
sobre
, quando
restrita ao primeiro quadrante. De fato, se
está no
primeiro quadrante, então
e
satisfazem
, logo
e portanto basta
fazer
e temos
, provando
que a parametrização é sobrejetora restrita ao primeiro quadrante. No caso da
injetividade, se
, então
e
claramente
, provando
assim, que o traço da curva é percorrido uma única vez por esta parametrização,
quando restrito ao primeiro quadrante. De maneira análoga, prova-se que as
parametrizações
são
bijetoras sobre
independente
do quadrante escolhido.
Nesse caso, para todo temos
e além
disso
Sejam
, no primeiro quadrante,
os pontos de interseção entre
e a reta
do plano
, respectivamente. Note
que
, portanto
. Para todo
temos
. Logo
e
são contínuas para todo
, e assim as curvas
são da classe
.
Pelo
Lema 3, podemos definir a sequência numérica , cujas as coordenadas representam
os comprimentos dos traços das curvas
, respectivamente, e que
são dados pelas seguintes leis de formação:
Figura 3 – Parametrizações de
Fonte: Autores
Teorema 3. A sequência converge para 8k, onde 8k é o
comprimento da curva c que tem como traço o quadrado limite.
Demonstração. Primeiramente defina uma função auxiliar g dada por
Claramente g satisfaz e
todo
, logo temos
o
que implica que . Portanto, utilizado
propriedades de integral temos:
|
|
(13) |
onde
. Vamos encontrar uma
expressão para
a partir de agora.
Para
tanto, faça uma substituição do tipo ,
,
obtendo assim:
Usando
outra substituição do tipo , obtemos:
Agora
note que para todo
. Pela Equação (13)
juntamente com o valor de
obtemos para todo
:
logo
Por
fim, utilizando propriedades dos Limites, segue do Teorema do Sanduíche (Lima,
2010, p. 16) juntamente com o Lema 2, que () converge para
.
Conclusão e Trabalhos Futuros
Neste trabalho constatou-se que o uso de uma ferramenta computacional, em especial, o GeoGebra, pode ser útil para que se faça indagações acerca de problemas geométricos. Contudo, a veracidade de tais intuições dadas pelos desenhos só pode ser comprovada através de uma prova matemática. Utilizando de importantes conceitos e propriedades da análise real em uma e duas dimensões, foi possível verificar a validade dos problemas propostos. De forma sucinta, primeiramente foi mostrado que a sequência de curvas (cn) converge uniformemente para quadrado limite c. Por fim, foi provado que as áreas e comprimentos destas curvas convergem, respectivamente, para a área e comprimento do quadrado limite.
A apresentação deste processo, cujo qual iniciou-se com uma hipótese vinda de uma ferramenta computacional, passando para a pesquisa dos conceitos e propriedades necessárias para sua comprovação e posteriormente trabalhando na comprovação em si, segue uma vertente muito em voga atualmente, que é a do ensino através da resolução de problemas. Acredita-se que este processo tende a ser mais produtivo para a fixação dos conceitos, principalmente se o problema for interessante, como neste caso, onde foram estabelecidas propriedades geométricas de uma figura retilínea, através de aproximações por figuras curvas, indo de encontro ao que historicamente foi feito.
Algumas questões que surgiram e que ainda não foram respondidas pelos autores são sobre convergências similares às obtidas neste trabalho como, por exemplo, nos casos em que a curva inicial é dada por uma elipse no plano ou por uma esfera em R3. Deseja-se continuar as investigações nesta linha de pesquisa para que possamos desenvolver mais resultados, contudo para expoentes grandes, o GeoGebra não vem se mostrando muito eficaz no caso tridimensional. A busca de generalizações em outras dimensões também pode tornar-se interessante por envolver curvas e superfícies no espaço.
Referências
Ávila, G. S. S. (2011). Várias faces da matemática, 2ª Ed. Edgar Blucher, São Paulo.
Boyer, C. B. (1996). História da Matemática, 2ª Ed. Edgar Blucher, São Paulo.
Lima, E. L. (2000). Curso de Análise, vol 2, 6ª Ed. IMPA, Rio de Janeiro.
Lima, E. L. (2004). Análise real, vol 2, 1ª Ed. IMPA, Rio de Janeiro.
Lima, E. L. (2010). Análise real, vol 1, 10ª Ed. IMPA, Rio de Janeiro.